Inverse Halbgruppen

Es sei $(S,*)$ eine reguläre Halbgruppe $(S,*)$. Für jedes $a$ aus $S$ bezeichne $V(a)$ die Menge der Inversen von $a$. Besteht $V(a)$ nur aus genau einem Element $a\text{'}$, so heißt $a$ invertierbar und $a\text{'}$ das Inverse von $a$. Es gilt dann also

(i)

Ist jedes $a$ aus $S$ (in diesem Sinne) invertierbar, so heißt $(S,*)$ eine inverse Halbgruppe. Spezielle Beispiele hierfür sind natürlich alle Gruppen. Weitere Beispiele kann man leicht aufgrund des folgenden Charakterisierungssatzes identifizieren. So sind etwa alle Halbverbände wegen der Bedingung (2) inverse Halbgruppen. Außerdem ergibt sich aus dieser Bedingung auch, daß für idempotente Elemente $e$ und $f$ wegen $(e*f)*(e*f)\; =\; e*e*f*f\; =\; e*f$ auch $e*f$ idempotent ist. $E(S)$ ist also ein Halbverband und daher insbesondere jede inverse Halbgruppe orthodox.

Satz: Für jede Halbgruppe $(S,*)$ sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(1) $(S,*)$ ist inverse Halbgruppe.

(2) $(S,*)$ ist regulär und je zwei idempotente Elemente von $(S,*)$ kommutieren.

(3) Jedes Linkshauptideal und jedes Rechtshauptideal von $(S,*)$ hat genau ein idempotentes erzeugendes Element.

Beweis: (1) => (2): Da jede inverse Halbgruppe per Definition regulär ist, bleibt nur $e*f\; =\; f*e$ für alle $e,\; f$ aus $E(S)$ zu zeigen. Man zeigt zunächst, daß $e*f$ (und daher natürlich auch $f*e$) idempotent ist, daß also $(S,*)$ eine orthodoxe Halbgruppe ist. Es gibt nun wegen (i) aber genau ein $x$ aus $S$ mit $e*f*x*e*f\; =\; e*f$ und $x*e*f*x\; =\; x$. Für $y\; =\; x*e$ gilt dann aber ebenfalls $e*f*y*e*f\; =\; e*f*x*e*e*f\; =\; e*f*x*e*f\; =\; e*f$ und $y*e*f*y\; =\; x*e*e*f*x*e\; =\; x*e*f*x*e\; =\; x*e\; =\; y$. Wegen der Eindeutigkeit des Inversen von $e*f$ folgt $x*e\; =\; y\; =\; x$. Analog zeigt man $f*x\; =\; x$. Dann ist wegen $x*x\; =\; (x*e)*(f*x)\; =\; x*(e*f)*x\; =\; x$ aber $x$ idempotent und damit selbst sein einziges Inverses, d. h. es ist $x\; =\; e*f$ idempotent. Nach einer allgemeinen Überlegung für idempotente Elemente in regulären Halbgruppen würde $e*f\; /=\; f*e$ dann aber bedeuten, daß beide Elemente mindestens zwei verschiedene Inverse haben, was in einer inversen Halbgruppe nicht sein kann.

(2) => (3): Wiederum nach einer allgemeinen Überlegung für reguläre Elemente einer Halbgruppe ist nur zu zeigen, daß die erzeugenden idempotenten Elemente eindeutig bestimmt sind. Gelte also etwa $S*e\; =\; S*f$ für die von derartigen Elementen $e,\; f$ erzeugten Linkshauptideale. Dann gibt es ein $s$ aus $S$ mit $e\; =\; s*f$, woraus $e*f\; =\; (s*f)*f\; =\; s*f\; =\; e$ folgt. Dann gilt natürlich auch $f*e\; =\; f$, was wegen $e*f\; =\; f*e$ bereits die behauptete Eindeutigkeit $e\; =\; f$ zeigt.

(3) => (1): Da aus der Erzeugbarkeit mit idempotenten Elementen bereits die Regularität der Halbgruppe folgt, bleibt nur die Eindeutigkeit der Inversen zu zeigen. Seien also $a,\; x,\; y$ aus $S$ mit $a*x*a\; =\; a,\; x*a*x\; =\; x,\; a*y*a\; =\; a$ und $y*a*y\; =\; y$. Wie für reguläre Elemente $a$ gezeigt, erzeugen $a$ und die idempotenten Elemente $x*a$ und $y*a$ jeweils dasselbe Linkshauptideal $S*x*a\; =\; S*a\; =\; S*y*a$. Analog folgt $a*x*S\; =\; a*S\; =\; a*y*S$ für die Rechtshauptideale. Aufgrund der Eindeutigkeit folgt $x*a\; =\; y*a$ und $a*x\; =\; a*y$. Damit gilt aber $x\; =\; x*a*x\; =\; y*a*x\; =\; y*a*y\; =\; y$.

Sind $a,\; b$ Elemente einer inversen Halbgruppe $(S,*)$ mit den Inversen $a\text{'},\; b\text{'}$, so gelten $(a\; *\; b)\; *\; (b\text{'}\; *\; a\text{'})\; *\; (a\; *\; b)\; =\; a\; *\; (b\; *\; b\text{'})\; *\; (a\text{'}\; *\; a)\; *\; b\; =\; a\; *\; (a\text{'}\; *\; a)\; *\; (b\; *\; b\text{'})\; *\; b\; =\; a\; *\; b$ und ebenso $(b\text{'}\; *\; a\text{'})\; *\; (a\; *\; b)\; *\; (b\text{'}\; *\; a\text{'})\; =\; a\; *\; b,$ d. h. $(a\; *\; b)\text{'}\; =\; b\text{'}\; *\; a\text{'}.$ Jede inverse Halbgruppe ist also nicht nur eine *-Halbgruppe sondern auch eine I-Halbgruppe. Da außerdem $a\; *\; a\text{'}$ stets idempotent ist, folgt aus (2), daß in jeder inversen Halbgruppe noch

(4)

gilt. Andererseits ist jede I-Halbgruppe mit dieser zusätzlichen Eigenschaft bereits eine inverse Halbgruppe. Da die Regularität in jeder I-Halbgruppe erfüllt ist, bleibt wegen (4) für (2) nur zu zeigen, daß jedes idempotente Element $e\; =\; e\; *\; e$ einer derartigen Halbgruppe in der Form $a\; *\; a\text{'}$ geschrieben werden kann. Es gilt aber $e\; *\; e\text{'}\; *\; e\; =\; e$ und $(e\text{'})\text{'}\; =\; e.$ Hieraus folgt $e\text{'}\; =\; e\text{'}\; *\; (e\text{'})\text{'}\; *\; e\text{'}\; =\; e\text{'}\; *\; e\; *\; e\text{'}\; =\; e\text{'}\; *\; e\; *\; e\; *\; e\text{'}\; =\; (e\; *\; e\text{'})\; *\; (e\text{'}\; *\; e)$ und daher $e\; =\; e\; *\; e\text{'}\; *\; e\; =\; e\; *\; (e\; *\; e\text{'})\; *\; (e\text{'}\; *\; e)\; *\; e\; =\; (e\; *\; e\text{'})\; *\; (e\text{'}\; *\; e)\; =\; e\text{'}$ sowie $e\; =\; e\; *\; e\; =\; e\; *\; e\text{'}.$

Weiterführende Literatur