Invertierbarkeit


Es sei (G,*) ein Gruppoid mit einem neutralen Element e, d. h. es gilt

(1)

e*a = a = a*e

für alle a aus G.

Ein Element a aus G heißt linksinvertierbar in (G,*), wenn es ein Linksinverses a' aus G besitzt, d. h. dieses a' erfüllt

(l)

a'*a = e.

Entsprechend heißt a rechtsinvertierbar, wenn es ein Rechtsinverses a' aus G besitzt, das durch

(r)

a*a' = e

definiert ist. Ein (zweiseitiges) Inverses zu a ist dann ein a', das sowohl (l) als auch (r) erfüllt. In diesem Fall heißt a invertierbar. Offensichtlich ist dann auch a' invertierbar und a ein Inverses zu a'. Stets ist das neutrale Element e invertierbar und e selbst ein Inverses zu e.


Ist (H,*) ein Monoid, so ist für jedes a aus H ein Inverses, falls es denn existiert, eindeutig bestimmt, denn ist a' ein Linksinverses und a'' ein Rechtsinverses, so stimmen sie aufgrund der Assoziativität schon überein:

a'' = e*a'' = (a'*a)*a'' = a'*(a*a'') = a'*e = a'.

Man bezeichnet das Inverse zu a dann mit a-1 (oder bei additiver Schreibweise der Verknüpfung mit -a). Für dieses Element gilt dann also

(2)

(a-1)-1 = a.


Sind a und b invertierbare Elemente eines Monoids (H,*) mit den jeweiligen Inversen a-1 und b-1, so ist auch a*b invertierbar und es gilt

(3)

(a*b)-1= b-1* a-1.

Daher bilden die invertierbaren Elemente eine Untergruppe, die Untergruppe der Einheiten U(H) von (H,*).


In einem Monoid (H,*) ist jedes linksinvertierbare Element a bereits linkskürzbar, denn ist a' ein Linksinverses von a, so folgt aus a*x = a*y durch Multiplikation mit a' von links wegen der Assoziativität von * sofort x = y

Ist (H,*) sogar ein endliches Monoid, dann ist jedes linksinvertierbare Element a bereits invertierbar, denn wegen der Linkskürzbarkeit von a ist die Linkstranslation la injektiv und wegen der Endlichkeit von H daher auch surjektiv. Also existiert ein x aus H mit a*x = e für das neutrale Element e von (H,*), d. h. a ist auch rechtsinvertierbar.


Beispiele für die Untergruppen der Einheiten

  • In jedem Körper (K,+,*) ist (K\{0},*) die Untergruppen der Einheiten der multiplikativen Halbgruppe (K,*).

  • In der multiplikativen Halbgruppe (N0,*) der natürlichen Zahlen ist U = {1} die Untergruppe der Einheiten.

  • In der additiven Halbgruppe (N0,+) der natürlichen Zahlen ist U = {0} die Untergruppe der Einheiten.

  • In der multiplikativen Halbgruppe (Z,*) der ganzen Zahlen ist U = {+1,-1} die Untergruppe der Einheiten.

  • In der multiplikativen Halbgruppe (Mn,n(R),*) der reellwertigen nxn-Matrizen bilden die regulären oder invertierbaren Matrizen die Untergruppe der Einheiten. Es sind dies also genau die nxn-Matrizen mit einer von 0 verschiedenen Determinante. Diese Gruppe heißt die lineare Gruppe GLn(R). In diesem Beispiel kann man den Körper (R,+,*) auch durch die Körper (Q,+,*) oder (C,+,*) ersetzen.