Invertierbarkeit

Es sei $(G,*)$ ein Gruppoid mit einem neutralen Element $e$ , d. h. es gilt

(1)

e*a = a = a*e

für alle $a$ aus $G$ .

Ein Element $a$ aus $G$ heißt linksinvertierbar in $(G,*)$ , wenn es ein Linksinverses $a'$ aus $G$ besitzt, d. h. dieses $a'$ erfüllt

(l)

a'*a = e

Entsprechend heißt $a$ rechtsinvertierbar, wenn es ein Rechtsinverses $a'$ aus $G$ besitzt, das durch

(r)

a*a' = e

definiert ist. Ein (zweiseitiges) Inverses zu $a$ ist dann ein $a'$ , das sowohl (l) als auch (r) erfüllt. In diesem Fall heißt $a$ invertierbar. Offensichtlich ist dann auch $a'$ invertierbar und $a$ ein Inverses zu $a'$ . Stets ist das neutrale Element $e$ invertierbar und $e$ selbst ein Inverses zu $e$ .

Ist $(H,*)$ ein Monoid, so ist für jedes $a$ aus $H$ ein Inverses, falls es denn existiert, eindeutig bestimmt, denn ist $a'$ ein Linksinverses und $a''$ ein Rechtsinverses, so stimmen sie aufgrund der Assoziativität schon überein:

a'' = e*a'' = (a'*a)*a'' = a'*(a*a'') = a'*e = a'.

Man bezeichnet das Inverse zu $a$ dann mit $a$ ^-1 (oder bei additiver Schreibweise der Verknüpfung mit $-a$ ). Für dieses Element gilt dann also

(2)

(a

^-1)^-1 = a.

Sind $a$ und $b$ invertierbare Elemente eines Monoids $(H,*)$ mit den jeweiligen Inversen $a$ ^-1 und $b$ ^-1, so ist auch $a*b$ invertierbar und es gilt

(3)

(a*b)

^-1= b^-1* a^-1.

Daher bilden die invertierbaren Elemente eine Untergruppe, die Untergruppe der Einheiten $U(H)$ von $(H,*)$ .

In einem Monoid $(H,*)$ ist jedes linksinvertierbare Element $a$ bereits linkskürzbar, denn ist $a'$ ein Linksinverses von $a$ , so folgt aus $a*x = a*y$ durch Multiplikation mit $a'$ von links wegen der Assoziativität von * sofort $x = y(H,*)$ sogar ein endliches Monoid, dann ist jedes linksinvertierbare Element $a$ bereits invertierbar, denn wegen der Linkskürzbarkeit von $a$ ist die Linkstranslation $l$ _a injektiv und wegen der Endlichkeit von $H$ daher auch surjektiv. Also existiert ein $x$ aus $H$ mit $a*x = e$ für das neutrale Element $e$ von $(H,*)$ , d. h. $a$ ist auch rechtsinvertierbar.

Beispiele für die Untergruppen der Einheiten

In jedem Körper $(K,+,*)$ ist $(K\{0},*)$ die Untergruppen der Einheiten der multiplikativen Halbgruppe $(K,*)$ .

In der multiplikativen Halbgruppe $(N$ ₀,*) der natürlichen Zahlen ist $U = {1}$ die Untergruppe der Einheiten.

In der additiven Halbgruppe $(N$ ₀,+) der natürlichen Zahlen ist $U = {0}$ die Untergruppe der Einheiten.

In der multiplikativen Halbgruppe $(Z,*)$ der ganzen Zahlen ist $U = {+1,-1}$ die Untergruppe der Einheiten.

In der multiplikativen Halbgruppe $(M$ _n,n(R),*) der reellwertigen $nxn$ -Matrizen bilden die regulären oder invertierbaren Matrizen die Untergruppe der Einheiten. Es sind dies also genau die $nxn$ -Matrizen mit einer von 0 verschiedenen Determinante. Diese Gruppe heißt die lineare Gruppe $GL$ _n(R). In diesem Beispiel kann man den Körper $(R,+,*)$ auch durch die Körper $(Q,+,*)$ oder $(C,+,*)$ ersetzen.