Erster Isomorphiesatz

Erster Isomorphiesatz: Es sei $(G,*)$ eine Gruppe mit einem Normalteiler $(N,*)$ und einer beliebigen Untergruppe $(U,*)$. Dann sind die Faktorgruppen $U/(U$ N) und $(U*N)/N$ isomorph zueinander.

Vor dem eigentlichen Beweis werden erst einige Hilfsaussagen bewiesen.

Hilfssatz: Unter den Voraussetzungen des ersten Isomorphiesatzes gilt:

(1) $U$ N ist Normalteiler von $(U,*)$.

(2) $U*N$ ist Untergruppe von $(G,*)$.

(3) $N$ ist Normalteiler von $(U*N,*)$.

Beweis des Hilfssatzes:

(1) Als Durchschnitt von Untergruppen der Gruppe $(G,*)$ ist $U$ N jedenfalls (Unter-)Gruppe und offensichtlich in $(U,*)$ enthalten, also Untergruppe von $(U,*)$. Zu zeigen bleibt also, daß $u*(U$ N) in $(U$ N)*u enthalten ist für jedes $u$ aus $U$. Sei dazu $u*n$ ein beliebiges Element aus $u*(U$ N). Wegen $u*N\; =\; N*u$ gibt es ein $m$ aus $N$ mit $u*n\; =\; m*u$. Es folgt, daß $m\; =\; u*n*u-1$ schon in $U$ enthalten ist, da $n$ auch in $U$ liegt. Also ist $m$ Element von $(U$ N) und folglich $u*n\; =\; m*u$ Element von $(U$ N)*u.

(2) Aus $u*N\; =\; N*u$ für alle $u$ aus $U$ folgt sofort $U*N\; =\; N*U$. Dies impliziert dann aber $U*N*U*N\; =\; U*U*N*N\; =\; U*N$ und $(U*N)-1=\; (N*U)-1=\; U-1*N-1=\; U*N$, also die Untergruppeneigenschaft von $U*N$.

(3) Da $N$ Untergruppe von $(G,*)$ ist, die wegen $N\; =\; e*N$ in der Untergruppe $U*N$ enthalten ist, ist $N$ jedenfalls Untergruppe von $U*N$. Aus $x*N\; =\; N*x$ für alle $x$ aus $G$ folgt aber $x*N\; =\; N*x$ für alle $x$ aus $U*N$. Also ist $N$ sogar Normalteiler von $U*N$.

Beweis des ersten Isomorphiesatzes:

Es sei $f$ der kanonische Epimorphismus von $(G,*)$ auf die Faktorgruppe $(G/N,*)$. Dann sind die Einschränkungen $f|U$ und $g\; =\; f|U*N$ Epimorphismen von $U$ auf $f(U)$ bzw. von $U*N$ auf $f(U)\; =\; g(U*N)$. Die letzte Gleichung folgt dabei wegen $g(u*n)\; =\; f(u*n)\; =\; f(u)*f(n)\; =\; f(u)$. Nach dem Homomorphiesatz folgt, daß sowohl $U/ker(f|U)$ als auch $U*N/ker(g)$ zu $f(U)$ und damit zueinander isomorph sind. Nun ist aber offensichtlich $ker(f|U)\; =\; (U$ N) und $ker(g)\; =\; ker(f|U*N)\; =\; N\; =\; ker(f)$, womit die behauptete Isomorphie des Satzes folgt.