Erster Isomorphiesatz


Erster Isomorphiesatz: Es sei (G,*) eine Gruppe mit einem Normalteiler (N,*) und einer beliebigen Untergruppe (U,*). Dann sind die Faktorgruppen U/(U N) und (U*N)/N isomorph zueinander.


Vor dem eigentlichen Beweis werden erst einige Hilfsaussagen bewiesen.

Hilfssatz: Unter den Voraussetzungen des ersten Isomorphiesatzes gilt:

(1) U N ist Normalteiler von (U,*).

(2) U*N ist Untergruppe von (G,*).

(3) N ist Normalteiler von (U*N,*).

Beweis des Hilfssatzes:

(1) Als Durchschnitt von Untergruppen der Gruppe (G,*) ist U N jedenfalls (Unter-)Gruppe und offensichtlich in (U,*) enthalten, also Untergruppe von (U,*). Zu zeigen bleibt also, daß u*(U N) in (U N)*u enthalten ist für jedes u aus U. Sei dazu u*n ein beliebiges Element aus u*(U N). Wegen u*N = N*u gibt es ein m aus N mit u*n = m*u. Es folgt, daß m = u*n*u-1 schon in U enthalten ist, da n auch in U liegt. Also ist m Element von (U N) und folglich u*n = m*u Element von (U N)*u.

(2) Aus u*N = N*u für alle u aus U folgt sofort U*N = N*U. Dies impliziert dann aber U*N*U*N = U*U*N*N = U*N und (U*N)-1 = (N*U)-1 = U-1*N-1 = U*N, also die Untergruppeneigenschaft von U*N.

(3) Da N Untergruppe von (G,*) ist, die wegen N = e*N in der Untergruppe U*N enthalten ist, ist N jedenfalls Untergruppe von U*N. Aus x*N = N*x für alle x aus G folgt aber x*N = N*x für alle x aus U*N. Also ist N sogar Normalteiler von U*N.


Beweis des ersten Isomorphiesatzes:

Es sei f der kanonische Epimorphismus von (G,*) auf die Faktorgruppe (G/N,*). Dann sind die Einschränkungen f|U und g = f|U*N Epimorphismen von U auf f(U) bzw. von U*N auf f(U) = g(U*N). Die letzte Gleichung folgt dabei wegen g(u*n) = f(u*n) = f(u)*f(n) = f(u). Nach dem Homomorphiesatz folgt, daß sowohl U/ker(f|U) als auch U*N/ker(g) zu f(U) und damit zueinander isomorph sind. Nun ist aber offensichtlich ker(f|U) = (U N) und ker(g) = ker(f|U*N) = N = ker(f), womit die behauptete Isomorphie des Satzes folgt.