Zweiter Isomorphiesatz

Zweiter Isomorphiesatz: Es sei $(G$₁,*) eine Gruppe mit einem Normalteiler $(N$₁,*) und $(G$₂,*) eine Gruppe mit einem Normalteiler $(N$₂,*). Weiterhin sei $f\; :\; G$₁ -> G₂ ein Epimorphismus mit $f-1(N$₂) = N₁. Dann sind die Faktorgruppen $G$₁/N₁ und $G$₂/N₂ isomorph zueinander.

Beweis:

Es sei $f$_~ der kanonische Epimorphismus von $(G$₂,*) auf die Faktorgruppe $(G$₂/N₂,*). Dann ist die Nacheinanderanwendung $g\; =\; f$_~ o f ein Epimorphismus von $(G$₁,*) auf $(G$₂/N₂,*) und nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe $G$₁/ker(g) isomorph zu $g(G$₁) = f_~ o f(G₁) = G₂/N₂. Damit bleibt $N$₁ = ker(g) zu zeigen. Ein Element $x$ aus $G$₁ liegt aber genau dann in $ker(g)$, wenn $g(x)\; =\; f$_~ o f(x) = N₂ gilt. Nach Definition des kanonischen Epimorphismus $f$_~ ist dies genau dann der Fall, wenn $f(x)$ in $N$₂ liegt. Wegen $f-1(N$₂) = N₁ ist dies schließlich gleichwertig dazu, daß $x$ in $N$₁ liegt.