Zweiter Isomorphiesatz


Zweiter Isomorphiesatz: Es sei (G1,*) eine Gruppe mit einem Normalteiler (N1,*) und (G2,*) eine Gruppe mit einem Normalteiler (N2,*). Weiterhin sei f : G1 -> G2 ein Epimorphismus mit f-1(N2) = N1. Dann sind die Faktorgruppen G1/N1 und G2/N2 isomorph zueinander.


Beweis:

Es sei f~ der kanonische Epimorphismus von (G2,*) auf die Faktorgruppe (G2/N2,*). Dann ist die Nacheinanderanwendung g = f~ o f ein Epimorphismus von (G1,*) auf (G2/N2,*) und nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe G1/ker(g) isomorph zu g(G1) = f~ o f(G1) = G2/N2. Damit bleibt N1 = ker(g) zu zeigen. Ein Element x aus G1 liegt aber genau dann in ker(g), wenn g(x) = f~ o f(x) = N2 gilt. Nach Definition des kanonischen Epimorphismus f~ ist dies genau dann der Fall, wenn f(x) in N2 liegt. Wegen f-1(N2) = N1 ist dies schließlich gleichwertig dazu, daß x in N1 liegt.