K-Algebren und Lie-Algebren


Es sei (K,+,*) ein Körper. Ein K-Vektorraum (V,+) heißt eine K-Algebra, wenn es eine bilineare Verknüpfung o : V x V -> V gibt, d. h. es gelten

(1l)

(x + y) o z = x o z + y o z,

(2l)

(ax) o z = a(x o z),

(1r)

x o (y + z) = x o y + x o z,

(2r)

x o (by) = b(x o y)

für alle x, y, z aus V und a, b aus K.

Die K-Algebra heißt assoziativ, wenn die zweistellige Verknüpfung o assoziativ ist, wenn also (V,o) eine Halbgruppe ist. In diesem Fall sind (1l) und (1r) genau die beiden Distributivgesetze des Ringes (V,+,o). Man kann also eine assoziative K-Algebra auch definieren als einen Ring (V,+,o), der gleichzeitig ein K-Vektorraum ist und die Gleichung

(2)

(ax) o (by) = (a*b)(x o y)

für alle x, y aus V und alle a, b aus K erfüllt, denn (2) folgt ersichtlich aus (2l) und (2r) und diese beiden Gleichungen ergeben sich wiederum als Spezialfälle von (2) mit dem Vektorraumaxiom 1x = x.

Es sind gerade die häufig auftretenden nicht-assoziativen K-Algebren, die eine Untersuchung von Gruppoiden und von "Ringen" mit nicht-assoziativer Multiplikation nahelegen.

Eine K-Algebra (V,+,o) heißt unitär, wenn das Gruppoid (V,o) ein Einselement 1 besitzt.


In vielen Fällen wird die binäre Operation o einer K-Algebra auch in Klammernotation gemäß

[x,y] = x o y

geschrieben.

Eine K-Algebra (V,+,o) = (V,+,[ ]) heißt Lie-Algebra ( Marius Sophus Lie), wenn für alle x, y, z aus V die beiden folgenden Gleichungen gelten.

(3)

[x,x] = o,

(4)

[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = o.

Die Gleichung (4) nennt man auch Jacobi-Gleichung ( Carl Gustav Jacob Jacobi).

Aus (3) ergibt sich mit der Bilinearität von [ ] sofort o = [x+y,x+y] = [x,x] + [x,y] + [y,x] + [y,y] = [x,y] + [y,x], also die Antisymmetrie von [ ]

(5)

[x,y] = -[y,x].

Daher ist die Operation [ ] einer Lie-Algebra genau dann trivial, wenn sie kommutativ ist. Aus diesem Grunde wird dieser Fall oft ausgeschlossen.


Beispiele für Lie-Algebren

  • Auf dem arithmetischen R-Vektorraum (R3,+) definiert das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) [a,b] = a x b eine nicht-assoziative Operation, die (3) und (4) erfüllt. Also ist (R3,+,x) eine Lie-Algebra.

  • Ist (V,+,o) eine beliebige nicht kommutative, aber assoziative K-Algebra, dann definiert der Kommutator [x,y] = x o y - y o x eine (nichttriviale) Lie-Algebra (V,+,[ ]).