K-Algebren und Lie-Algebren

Es sei $(K,+,*)$ ein Körper. Ein K-Vektorraum $(V,+)$ heißt eine K-Algebra, wenn es eine bilineare Verknüpfung $o : V x V -> V$ gibt, d. h. es gelten

(1l)

(x + y) o z = x o z + y o z,

(2l)

(ax) o z = a(x o z),

(1r)

x o (y + z) = x o y + x o z,

(2r)

x o (by) = b(x o y)

für alle $x, y, z$ aus $V$ und $a, b$ aus $K$ .

Die K-Algebra heißt assoziativ, wenn die zweistellige Verknüpfung o assoziativ ist, wenn also

(V,o)

eine Halbgruppe ist. In diesem Fall sind (1l) und (1r) genau die beiden Distributivgesetze des Ringes

(V,+,o)

. Man kann also eine assoziative K-Algebra auch definieren als einen Ring

(V,+,o)

, der gleichzeitig ein K-Vektorraum ist und die Gleichung

(2)

(ax) o (by) = (a*b)(x o y)

für alle $x, y$ aus $V$ und alle $a, b$ aus $K$ erfüllt, denn (2) folgt ersichtlich aus (2l) und (2r) und diese beiden Gleichungen ergeben sich wiederum als Spezialfälle von (2) mit dem Vektorraumaxiom $1x = x$ .

Es sind gerade die häufig auftretenden nicht-assoziativen K-Algebren, die eine Untersuchung von Gruppoiden und von "Ringen" mit nicht-assoziativer Multiplikation nahelegen.

Eine K-Algebra $(V,+,o)$ heißt unitär, wenn das Gruppoid $(V,o)$ ein Einselement 1 besitzt.

In vielen Fällen wird die binäre Operation o einer K-Algebra auch in Klammernotation gemäß

[x,y] = x o y

geschrieben.

Eine K-Algebra $(V,+,o) = (V,+,[ ])$ heißt Lie-Algebra ( Marius Sophus Lie), wenn für alle $x, y, z$ aus $V$ die beiden folgenden Gleichungen gelten.

(3)

[x,x] = o,

(4)

[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = o.

Die Gleichung (4) nennt man auch Jacobi-Gleichung ( Carl Gustav Jacob Jacobi).

Aus (3) ergibt sich mit der Bilinearität von [ ] sofort $o = [x+y,x+y] = [x,x] + [x,y] + [y,x] + [y,y] = [x,y] + [y,x],$ also die Antisymmetrie von [ ]

(5)

[x,y] = -[y,x].

Daher ist die Operation [ ] einer Lie-Algebra genau dann trivial, wenn sie kommutativ ist. Aus diesem Grunde wird dieser Fall oft ausgeschlossen.

Beispiele für Lie-Algebren

Auf dem arithmetischen R-Vektorraum $(R$ ³,+) definiert das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) $[a,b] = a x b$ eine nicht-assoziative Operation, die (3) und (4) erfüllt. Also ist $(R$ ³,+,x) eine Lie-Algebra.

Ist $(V,+,o)$ eine beliebige nicht kommutative, aber assoziative K-Algebra, dann definiert der Kommutator $[x,y] = x o y - y o x$ eine (nichttriviale) Lie-Algebra $(V,+,[ ])$ .