Kerne, Normalteiler und der Homomorphiesatz


Es sei f : G -> G' ein Homomorphismus der Gruppe (G,*) in die Gruppe (G',*). Ist e' das Einselement von (G',*), dann heißt die Teilmenge

(1)

ker(f) = { a aus G | f(a) = e' }

der Kern des Homomorphismus f. Wegen f(e) = e' für das Einselement e von (G,*) ist diese Teilmenge von G jedenfalls nicht leer.

Sind a und b aus ker(f), dann folgt f(a*b) = f(a)*f(b) = e'*e' = e', d. h. auch a*b liegt in ker(f). Ist a-1 inverses Element zu a in (G,*), so ist f(a-1) inverses Element zu f(a)=e' in (G',*), also gilt f(a-1)=e' und somit liegt mit a auch a-1 in ker(f). Insgesamt ist (ker(f),*) Untergruppe von (G,*).

Ist weiterhin fc ein innerer Automorphismus von (G,*) und a aus ker(f), so folgt f(fc(a)) = f(c*a*c-1) = f(c)*f(a)*f(c)-1 = e', d. h. fc(a) liegt ebenfalls in ker(f). Also ist fc(ker(f)) Teilmenge von ker(f) und daher ker(f) sogar ein Normalteiler von (G,*).


Der Homomorphismus f : G -> G' ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {e} für das Einselement e von (G,*) gilt. Hat man nämlich ker(f) = {e} und gilt f(a) = f(b) für a, b aus G, so folgt f(a*b-1) = f(a)*f(b)-1 = e' und daher a*b-1 = e, also a = b. Dies zeigt die Injektivität von f. Ist umgekehrt diese Injektivität gegeben und a aus ker(f), so folgt f(a) = e' = f(e) und daraus bereits a = e.


Homomorphiesatz: Ist f : G -> G' ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dann ist das homomorphe Bild (G',*) von (G,*) zu der Faktorgruppe (G/ker(f),*) isomorph.

Beweis: Die Klassen von G/ker(f) seien mit [a] für a aus G bezeichnet. Definiert man dann g : G/ker(f) -> G' durch g([a]) = f(a), so ist g ein Isomorphismus.

g ist wohldefiniert: Für b aus [a] = a*ker(f) folgt nämlich b=a*u mit einem u aus ker(f) und daher f(a)=f(b). Also ist g([a]) nicht von der Wahl des Repräsentanten der Klasse [a] abhängig.

Die Homomorphieeigenschaft von g folgt nun unmittelbar aus derjenigen von f. Das gleiche gilt für die Surjektivität.

Zum Nachweis der Injektivität seien a, b aus G mit f(a) = f(b). Dann folgt f(a*b-1) = f(a)*f(b)-1 = e', also liegt a*b-1 in ker(f). Dies zeigt aber [a] = [b].