Kerne, Normalteiler und der Homomorphiesatz

Es sei $f\; :\; G\; ->\; G\text{'}$ ein Homomorphismus der Gruppe $(G,*)$ in die Gruppe $(G\text{'},*)$. Ist $e\text{'}$ das Einselement von $(G\text{'},*)$, dann heißt die Teilmenge

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der Kern des Homomorphismus $f$. Wegen $f(e)\; =\; e\text{'}$ für das Einselement $e$ von $(G,*)$ ist diese Teilmenge von $G$ jedenfalls nicht leer.

Sind $a$ und $b$ aus $ker(f)$, dann folgt $f(a*b)\; =\; f(a)*f(b)\; =\; e\text{'}*e\text{'}\; =\; e\text{'}$, d. h. auch $a*b$ liegt in $ker(f)$. Ist $a-1$ inverses Element zu $a$ in $(G,*)$, so ist $f(a-1)$ inverses Element zu $f(a)=e\text{'}$ in $(G\text{'},*)$, also gilt $f(a-1)=e\text{'}$ und somit liegt mit $a$ auch $a-1$ in $ker(f)$. Insgesamt ist $(ker(f),*)$ Untergruppe von $(G,*)$.

Ist weiterhin $f$_c ein innerer Automorphismus von $(G,*)$ und $a$ aus $ker(f)$, so folgt $f(f$_c(a)) = f(c*a*c^-1) = f(c)*f(a)*f(c)^-1 = e', d. h. $f$_c(a) liegt ebenfalls in $ker(f)$. Also ist $f$_c(ker(f)) Teilmenge von $ker(f)$ und daher $ker(f)$ sogar ein Normalteiler von $(G,*)$.

Der Homomorphismus $f\; :\; G\; ->\; G\text{'}$ ist genau dann injektiv, wenn $ker(f)\; =\; \{e\}$ für das Einselement $e$ von $(G,*)$ gilt. Hat man nämlich $ker(f)\; =\; \{e\}$ und gilt $f(a)\; =\; f(b)$ für $a,\; b$ aus $G$, so folgt $f(a*b-1)\; =\; f(a)*f(b)-1=\; e\text{'}$ und daher $a*b-1=\; e$, also $a\; =\; b$. Dies zeigt die Injektivität von $f$. Ist umgekehrt diese Injektivität gegeben und $a$ aus $ker(f)$, so folgt $f(a)\; =\; e\text{'}\; =\; f(e)$ und daraus bereits $a\; =\; e$.

Homomorphiesatz: Ist $f\; :\; G\; ->\; G\text{'}$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, dann ist das homomorphe Bild $(G\text{'},*)$ von $(G,*)$ zu der Faktorgruppe $(G/ker(f),*)$ isomorph.

Beweis: Die Klassen von $G/ker(f)$ seien mit $[a]$ für $a$ aus $G$ bezeichnet. Definiert man dann $g\; :\; G/ker(f)\; ->\; G\text{'}$ durch $g([a])\; =\; f(a)$, so ist $g$ ein Isomorphismus.

$g$ ist wohldefiniert: Für $b$ aus $[a]\; =\; a*ker(f)$ folgt nämlich $b=a*u$ mit einem $u$ aus $ker(f)$ und daher $f(a)=f(b)$. Also ist $g([a])$ nicht von der Wahl des Repräsentanten der Klasse $[a]$ abhängig.

Die Homomorphieeigenschaft von $g$ folgt nun unmittelbar aus derjenigen von $f$. Das gleiche gilt für die Surjektivität.

Zum Nachweis der Injektivität seien $a,\; b$ aus $G$ mit $f(a)\; =\; f(b)$. Dann folgt $f(a*b-1)\; =\; f(a)*f(b)-1=\; e\text{'}$, also liegt $a*b-1$ in $ker(f)$. Dies zeigt aber $[a]\; =\; [b]$.