Gruppen kleiner Ordnung

Hier sind für Gruppen mit Ordnungen < 8 Cayley-Tafeln angegeben, wobei in einigen Fällen die Gruppenelemente als geeignete Permutationen dargestellt wurden, was ja nach dem Satz von Cayley für jede Gruppe möglich ist.

Ordnung 1

(1)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 1, oft abgekürzt als $Z$ ₁ oder $C$ ₁ oder in der Kristallographie als 1. Aufgefaßt als symmetrische Gruppe handelt es sich natürlich um die $S$ ₁.

Ordnung 2

(1)

(1 2)

(1)

(1 2)

(1)	(1 2)
(1 2)	(1)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 2, oft abgekürzt als $Z$ ₂ oder $C$ ₂ oder in der Kristallographie als 2. Aufgefaßt als symmetrische Gruppe handelt es sich natürlich um die $S$ ₂.

Ordnung 3

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)	(1 2 3)	(1 3 2)
(1 2 3)	(1 3 2)	(1)
(1 3 2)	(1)	(1 2 3)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 3, oft abgekürzt als $Z$ ₃ oder $C$ ₃ oder in der Kristallographie als 3.

Ordnung 4

(1)

(1 2 3 4)

(1 3)(2 4)

(1 4 3 2)

(1)

(1 2 3 4)

(1 3)(2 4)

(1 4 3 2)

(1)	(1 2 3 4)	(1 3)(2 4)	(1 4 3 2)
(1 2 3 4)	(1 3)(2 4)	(1 4 3 2)	(1)
(1 3)(2 4)	(1 4 3 2)	(1)	(1 2 3 4)
(1 4 3 2)	(1)	(1 2 3 4)	(1 3)(2 4)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 4, oft abgekürzt als $Z$ ₄ oder $C$ ₄ oder in der Kristallographie als 4.

(1)

(1 2)(3 4)

(1 3)(2 4)

(1 4)(2 3)

(1)

(1 2)(3 4)

(1 3)(2 4)

(1 4)(2 3)

(1)	(1 2)(3 4)	(1 3)(2 4)	(1 4)(2 3)
(1 2)(3 4)	(1)	(1 4)(2 3)	(1 3)(2 4)
(1 3)(2 4)	(1 4)(2 3)	(1)	(1 2)(3 4)
(1 4)(2 3)	(1 3)(2 4)	(1 2)(3 4)	(1)

Es handelt sich um die Diedergruppe $D$ ₂, die in der Kristallographie auch als 222 notiert wird. In der Mathematik ist sie auch als Kleinsche Vierergruppe bekannt, dann abgekürzt als $V$ ₄. Sie ist isomorph zum direkten Produkt $Z$ ₂ x Z₂.

Ordnung 5

e

a

a

a

a

⁴

e

a

a

a

a

⁴

$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴
$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$e$
$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$e$	$a$
$a$ ³	$a$ ⁴	$e$	$a$	$a$ ²
$a$ ⁴	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 5, oft abgekürzt als $Z$ ₅ oder $C$ ₅. In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den dort betrachteten Symmetriegruppen keine Drehungen der Ordnung 5 vorkommen können.

Ordnung 6

e

a

a

a

a

⁴

a

⁵

e

a

a

a

a

⁴

a

⁵

$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵
$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$e$
$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$e$	$a$
$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$e$	$a$	$a$ ²
$a$ ⁴	$a$ ⁵	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³
$a$ ⁵	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 6, oft abgekürzt als $Z$ ₆ oder $C$ ₆. Sie ist isomorph zum direkten Produkt $Z$ ₃ x Z₂. In der Kristallographie wird sie als 6 notiert.

(1)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)	(1 2)	(1 3)	(2 3)	(1 2 3)	(1 3 2)
(1 2)	(1)	(1 3 2)	(1 2 3)	(2 3)	(1 3)
(1 3)	(1 2 3)	(1)	(1 3 2)	(1 2)	(2 3)
(2 3)	(1 3 2)	(1 2 3)	(1)	(1 3)	(1 2)
(1 2 3)	(1 3)	(2 3)	(1 2)	(1 3 2)	(1)
(1 3 2)	(2 3)	(1 2)	(1 3)	(1)	(1 2 3)

Es handelt sich um die symmetrische Gruppe $S$ ₃. Dies ist die kleinste nicht-kommutative Gruppe. Sie ist auch die Diedergruppe $D$ ₃ und wird in der Kristallographie als 32 notiert.

Ordnung 7

e

a

a

a

a

⁴

a

⁵

a

⁶

e

a

a

a

a

⁴

a

⁵

a

⁶

$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$a$ ⁶
$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$a$ ⁶	$e$
$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$a$ ⁶	$e$	$a$
$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵	$a$ ⁶	$e$	$a$	$a$ ²
$a$ ⁴	$a$ ⁵	$a$ ⁶	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³
$a$ ⁵	$a$ ⁶	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴
$a$ ⁶	$e$	$a$	$a$ ²	$a$ ³	$a$ ⁴	$a$ ⁵

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 7, oft abgekürzt als $Z$ ₇ oder $C$ ₇. In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den dort betrachteten Symmetriegruppen keine Drehungen der Ordnung 7 vorkommen können.