Gruppen kleiner Ordnung


Hier sind für Gruppen mit Ordnungen < 8 Cayley-Tafeln angegeben, wobei in einigen Fällen die Gruppenelemente als geeignete Permutationen dargestellt wurden, was ja nach dem Satz von Cayley für jede Gruppe möglich ist.

Ordnung 1

*
(1)
(1)
(1)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 1, oft abgekürzt als Z1 oder C1 oder in der Kristallographie als 1. Aufgefaßt als symmetrische Gruppe handelt es sich natürlich um die S1.

Ordnung 2

*
(1)  (1 2)
(1)
(1 2)
(1) (1 2)
(1 2) (1)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 2, oft abgekürzt als Z2 oder C2 oder in der Kristallographie als 2. Aufgefaßt als symmetrische Gruppe handelt es sich natürlich um die S2.

Ordnung 3

*
  (1)    (1 2 3)  (1 3 2)
(1)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1)  (1 2 3)  (1 3 2)
(1 2 3)  (1 3 2)  (1)
(1 3 2) (1) (1 2 3)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 3, oft abgekürzt als Z3 oder C3 oder in der Kristallographie als 3.

Ordnung 4

*
      (1)        (1 2 3 4)     (1 3)(2 4)   (1 4 3 2)
(1)
(1 2 3 4)
(1 3)(2 4)
(1 4 3 2)
(1)   (1 2 3 4)    (1 3)(2 4)  (1 4 3 2)
(1 2 3 4) (1 3)(2 4) (1 4 3 2) (1)
(1 3)(2 4) (1 4 3 2) (1) (1 2 3 4)
(1 4 3 2) (1) (1 2 3 4) (1 3)(2 4)

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 4, oft abgekürzt als Z4 oder C4 oder in der Kristallographie als 4.

*
      (1)        (1 2)(3 4)     (1 3)(2 4)     (1 4)(2 3)
(1)
(1 2)(3 4)
(1 3)(2 4)
(1 4)(2 3)
(1)   (1 2)(3 4)    (1 3)(2 4)    (1 4)(2 3)
(1 2)(3 4) (1)  (1 4)(2 3)  (1 3)(2 4)
(1 3)(2 4) (1 4)(2 3) (1)  (1 2)(3 4)
(1 4)(2 3) (1 3)(2 4) (1 2)(3 4) (1)

Es handelt sich um die Diedergruppe D2, die in der Kristallographie auch als 222 notiert wird. In der Mathematik ist sie auch als Kleinsche Vierergruppe bekannt, dann abgekürzt als V4. Sie ist isomorph zum direkten Produkt Z2 x Z2.

Ordnung 5

*
 a   a2   a3   a4
e 
a 
a2
a3
a4
e   a   a2  a3  a4
a  a2 a3 a4 e 
a2 a3 a4 e  a 
a3 a4 e  a  a2
a4 e  a  a2 a3

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 5, oft abgekürzt als Z5 oder C5. In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den dort betrachteten Symmetriegruppen keine Drehungen der Ordnung 5 vorkommen können.

Ordnung 6

*
 e  a  a2  a3  a4  a5
e 
a 
a2
a3
a4
a5
e  a  a2 a3 a4 a5
a  a2 a3 a4 a5 e 
a2 a3 a4 a5 e  a 
a3 a4 a5 e  a  a2
a4 a5 e  a  a2 a3
a5 e  a  a2 a3 a4

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 6, oft abgekürzt als Z6 oder C6. Sie ist isomorph zum direkten Produkt Z3 x Z2. In der Kristallographie wird sie als 6 notiert.

*
  (1)    (1 2)    (1 3)    (2 3)   (1 2 3)  (1 3 2)
(1)
(1 2)
(1 3)
(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1)  (1 2)  (1 3)  (2 3)  (1 2 3)  (1 3 2)
(1 2) (1) (1 3 2) (1 2 3) (2 3) (1 3)
(1 3) (1 2 3) (1) (1 3 2) (1 2) (2 3)
(2 3) (1 3 2) (1 2 3) (1) (1 3) (1 2)
(1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (1)
(1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)

Es handelt sich um die symmetrische Gruppe S3. Dies ist die kleinste nicht-kommutative Gruppe. Sie ist auch die Diedergruppe D3 und wird in der Kristallographie als 32 notiert.

Ordnung 7

*
 e  a  a2  a3  a4  a5  a6
e 
a 
a2
a3
a4
a5
a6
e  a  a2 a3 a4 a5 a6
a  a2 a3 a4 a5 a6 e 
a2 a3 a4 a5 a6 e  a 
a3 a4 a5 a6 e  a  a2
a4 a5 a6 e  a  a2 a3
a5 a6 e  a  a2 a3 a4
a6 e  a  a2 a3 a4 a5

Es handelt sich um die zyklische Gruppe der Ordnung 7, oft abgekürzt als Z7 oder C7. In der Kristallographie tritt sie nicht auf, da in den dort betrachteten Symmetriegruppen keine Drehungen der Ordnung 7 vorkommen können.