Komplementäre Verbände


Es sei (V,,,o,e) ein beschränkter Verband. Existiert zu a aus V ein a' aus V mit

(1)

a a' = o und a a' = e,

so nennt man a komplementierbar und a' ein Komplement von a. Offensichtlich ist dann auch a' komplementierbar und a ein Komplement von a'.

In einem beschränkten distributiven Verband ist ein Komplement a' eines Elementes a eindeutig bestimmt, denn ist auch a'' ein Komplement von a, so gilt

a' = a' e = a' (a a'') = (a' a) (a' a'') = o (a' a'') = a' a''

und analog a'' = a'' a'. Hieraus folgt wegen der Kommutativität von aber a' = a''.

Der beschränkte Verband (V,,,o,e) heißt komplementär, wenn jedes a aus V ein eindeutig bestimmtes Komplement besitzt. In diesem Fall ist also die Abbildung ' : V -> V, die a aus V jeweils auf sein Komplement a' abbildet, eine einstellige Verknüpfung, die

(2)

(a')' = a

für alle a aus V erfüllt, also eine Involution.