Komplementäre Verbände

Es sei $(V,$,,o,e) ein beschränkter Verband. Existiert zu $a$ aus $V$ ein $a\text{'}$ aus $V$ mit

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$a$ a' = o und a a' = e,

so nennt man $a$ komplementierbar und $a\text{'}$ ein Komplement von $a$. Offensichtlich ist dann auch $a\text{'}$ komplementierbar und $a$ ein Komplement von $a\text{'}$.

In einem beschränkten distributiven Verband ist ein Komplement $a\text{'}$ eines Elementes $a$ eindeutig bestimmt, denn ist auch $a\text{'}\text{'}$ ein Komplement von $a$, so gilt

$a\text{'}\; =\; a\text{'}$ e = a' (a a'') = (a' a) (a' a'') = o (a' a'') = a' a''

und analog $a\text{'}\text{'}\; =\; a\text{'}\text{'}$ a'. Hieraus folgt wegen der Kommutativität von aber $a\text{'}\; =\; a\text{'}\text{'}$.

Der beschränkte Verband $(V,$,,o,e) heißt komplementär, wenn jedes $a$ aus $V$ ein eindeutig bestimmtes Komplement besitzt. In diesem Fall ist also die Abbildung $\text{'}\; :\; V\; ->\; V$, die $a$ aus $V$ jeweils auf sein Komplement $a\text{'}$ abbildet, eine einstellige Verknüpfung, die

(2)

für alle $a$ aus $V$ erfüllt, also eine Involution.