Die komplexen Zahlen

Es sei $(R,+,*)$ der Körper der reellen Zahlen. Auf der Menge

also auf dem kartesischen Produkt der Menge $R$ der reellen Zahlen mit sich selbst, werden durch

und

für alle $(a,b)$ und $(c,d)$ aus $C$ eine Addition (1) und eine Multiplikation (2) definiert.

Bei (1) handelt es sich um die komponentenweise Addition reeller Zahlen, d. h. $(C,+)$ ist das direkte Produkt von $(R,+)$ mit sich selbst. Daher ist $(C,+)$ wie $(R,+)$ eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element $(0,0)$.

Ersichtlich ist die Multiplikation (2) kommutativ und $(1,0)$ ist wegen $(1,0)*(c,d)\; =\; (1*c\; -\; 0*d,1*d\; +\; 0*c)\; =\; (c,d)$ neutrales Element von $(C,*)$.

Für je drei Elemente $(a,b),\; (c,d),\; (e,f)$ aus $C$ gilt

und

was die Assoziativität der Multiplikation zeigt. Also ist $(C,*)$ ein kommutatives Monoid.

Außerdem sind wegen

und der Kommutativität der Multiplikation beide Distributivgesetze erfüllt, so daß $(C,+,*)$ ein kommutativer Ring mit Einselement ist.

Schließlich existiert für jedes von $(0,0)$ verschiedene Element $(a,b)$ aus $C$ das Element $(a/(a*a\; +\; b*b),\; -b/(a*a\; +\; b*b))$ in $C$, da nicht gleichzeitig beide Quadrate $a*a$ und $b*b$ im Nenner verschwinden können. Dieses Element ist aber wegen

das Inverse zu $(a,b)$ im Monoid $(C,*)$. Damit ist $(C\; \backslash \; \{(0,0),*)$ die Gruppe der Einheiten von $(C,*)$ und $(C,+,*)$ ein kommutativer Körper, der Körper der komplexen Zahlen.

Die Abbildung $f\; :\; R\; ->\; C$ mit $f(a)\; =\; (a,0)$ ist offensichtlich ein injektiver Homomorphismus, der $(R,+,*)$ auf den Teilkörper $R\; x\; \{0\}$ von $(C,+,*)$ abbildet. Man kann also den Körper $(R,+,*)$ der reellen Zahlen mit $R\; x\; \{0\}$ identifizieren und als Teilkörper des Körpers der komplexen Zahlen auffassen. Wegen

kann man nach dieser Identifikation jede komplexe Zahl $(a,b)$ kurz schreiben als $(a,b)\; =\; a\; +\; b*(0,1)$. Man führt für die Zahl $(0,1)$ noch das Symbol $i$ ein und nennt es die imaginäre Einheit. Läßt man noch das Multiplikationssymbol * weg, so kann man jede komplexe Zahl $z$ in der Form $z\; =\; a\; +\; bi$ mit eindeutig bestimmten reellen Zahlen $a$ und $b$ schreiben. Dabei heißen $a\; =\; Re(z)$ der Realteil und $b\; =\; Im(z)$ der Imaginärteil von $z\; =\; a\; +\; bi$.

Komplexe Zahlen, deren Imaginärteil verschwindet, sind genau die reellen Zahlen, von $0$ verschiedene komplexe Zahlen, deren Realteil verschwindet, nennt man auch rein imaginär. Wegen $bi*bi\; =\; -b*b$ ist das Quadrat derartiger Zahlen nämlich eine echt negative reelle Zahl, was für reelle Zahlen unmöglich ist und ihren Namen rechtfertigt. Insbesondere gilt also

Ist $z\; =\; a\; +\; bi$ eine beliebige komplexe Zahl, so nennt man die Zahl $z-=\; a\; -\; b*i\; =\; Re(z)\; -\; Im(z)i$ die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl und $|\; z\; |\; =\; (a*a\; +\; b*b)1/2=\; (z*z-)1/2$ den Betrag von $z$. Damit stimmt eine komplexe Zahl genau dann mit ihrer Konjugierten überein, wenn sie reell ist, und wegen $(a*a)1/2=\; |\; a\; |$ ist der (komplexe) Betrag einer reellen Zahl genau ihr üblicher reeller Betrag. Ebenso wie für reelle Zahlen besitzt der Betrag für komplexe Zahlen die Eigenschaften einer Norm, d. h. es gelten für alle komplexen Zahlen $z$₁ und $z$₂