Kongruenzen und Faktorbildung


Es sei (G,*) ein Gruppoid. Eine Relation ~ auf G heißt linkskompatibel oder linksverträglich mit *, wenn

(l)

aus a ~ b folgt c*a ~ c*b für alle a, b, c aus G

erfüllt ist; entsprechend nennt man sie rechtskompatibel oder rechtsverträglich mit *, wenn

(r)

aus a ~ b folgt a*c ~ b*c für alle a, b, c aus G

gilt. Eine mit * kompatible Relation hat beide Eigenschaften (l) und (r).


Unter einer Linkskongruenz [Rechtskongruenz, Kongruenz] von (G,*) versteht man eine mit * linkskompatible [rechtskompatible, kompatible] Äquivalenzrelation auf G, also eine reflexive (a ~ a für alle a aus G), symmetrische (aus a ~ b folgt b ~ a für alle a, b aus G) und transitive (aus a ~ b und b ~ c folgt a ~ c für alle a, b, c aus G) Relation.

Stets sind die identische Relation iota (mit a iota b genau für a = b aus G) und die Allrelation omega (mit a omega b für alle a, b aus G) Kongruenzrelationen von (G,*). Man nennt sie die trivialen Kongruenzen, und (G,*) heißt einfach, wenn es nur diese beiden trivialen Kongruenzen besitzt. Weitere (nichttriviale) Kongruenzen ergeben sich als Rees-Kongruenzen zu nichttrivialen Idealen von (G,*). Insbesondere kann also ein einfaches Gruppoid nur höchstens die trivialen Ideale G und { a } für ein absorbierendes Element a von (G,*) haben.


Ist ~ eine Kongruenz auf (G,*) und G/~ = { [a]~ | a aus G} die Menge aller Äquivalenzklassen [a]~ = {b aus G | b ~ a}, so kann man auf G/~ eine repräsentantenweise Verknüpfung * definieren gemäß

(1)

[a]~*[b]~ = [a*b]~,

denn ist auch a' aus [a]~ und b' aus [b]~, so gilt a ~ a' und b ~ b', woraus mit (l) a*b ~ a*b' und mit (r) a*b' ~ a'*b' folgt. Die Transitivität von ~ liefert nun a*b ~ a'*b'. Also liegt a'*b' in [a*b]~ und diese Klasse stimmt mit [a'*b']~ überein. Daher ist die Multiplikation * durch (1) wohldefiniert und nicht von den ausgewählten Repräsentanten der Klassen abhängig. Also ist (G/~,*) ein Gruppoid, das Faktorgruppoid von G nach ~.


Ersichtlich ist wegen (1) mit (G,*) auch (G/~,*) idempotent, kommutativ oder assoziativ. Ganz allgemein übertragen sich alle durch Gleichungen definierten Eigenschaften von (G,*) auf (G/~,*)

Besitzt (G,*) ein neutrales Element e, so ist [e]~ neutrales Element von (G/~,*), und ist a' ein zu a aus G inverses Element, so ist [a']~ eine zu [a]~ inverse Klasse von (G/~,*), wiederum wegen (1). Damit ist (G/~,*) für eine Gruppe (G,*) wieder eine Gruppe, die Faktorgruppe von (G,*) nach ~.


Ist (G/~,*) Faktorgruppoid des Gruppoids (G,*), so wird durch

(2)

f~(a) = [a]~ für alle a aus G

wegen (1) offensichtlich ein surjektiver Homomorphismus f~ : G -> G/~ definiert, der natürliche oder kanonische Epimorphismus.


Beispiele zum Homomorphiesatz:

  • In der abelschen Gruppe (Z,+) ist jede der Untergruppen (n*Z,+) bereits ein Normalteiler. Die Faktorgruppe (Z/n*Z,+) heißt jeweils die Gruppe der Restklassen modulo n.