Kongruenzen und Faktorbildung

Es sei $(G,*)$ ein Gruppoid. Eine Relation $~$ auf $G$ heißt linkskompatibel oder linksverträglich mit *, wenn

(l)

aus a ~ b folgt c*a ~ c*b für alle a, b, c aus G

erfüllt ist; entsprechend nennt man sie rechtskompatibel oder rechtsverträglich mit *, wenn

(r)

aus a ~ b folgt a*c ~ b*c für alle a, b, c aus G

gilt. Eine mit * kompatible Relation hat beide Eigenschaften (l) und (r).

Unter einer Linkskongruenz [Rechtskongruenz, Kongruenz] von $(G,*)$ versteht man eine mit * linkskompatible [rechtskompatible, kompatible] Äquivalenzrelation auf $G$ , also eine reflexive ( $a ~ a$ für alle $a$ aus $G$ ), symmetrische (aus $a ~ b$ folgt $b ~ a$ für alle $a, b$ aus $G$ ) und transitive (aus $a ~ b$ und $b ~ c$ folgt $a ~ c$ für alle $a, b, c$ aus $G$ ) Relation.

Stets sind die identische Relation (mit $a$ b genau für $a = b$ aus $G$ ) und die Allrelation (mit $a$ b für alle $a, b$ aus $G$ ) Kongruenzrelationen von $(G,*)$ . Man nennt sie die trivialen Kongruenzen, und $(G,*)$ heißt einfach, wenn es nur diese beiden trivialen Kongruenzen besitzt. Weitere (nichttriviale) Kongruenzen ergeben sich als Rees-Kongruenzen zu nichttrivialen Idealen von $(G,*)$ . Insbesondere kann also ein einfaches Gruppoid nur höchstens die trivialen Ideale $G$ und ${ a }$ für ein absorbierendes Element $a$ von $(G,*)$ haben.

Ist $~$ eine Kongruenz auf $(G,*)$ und $G/~ = { [a]$ _~ | a aus G} die Menge aller Äquivalenzklassen $[a]$ _~ = {b aus G | b ~ a}, so kann man auf $G/~ eine$ repräsentantenweise Verknüpfung * definieren gemäß (1)

[a]

_~*[b]_~ = [a*b]_~,

denn ist auch $a'$ aus $[a]$ _~ und $b'$ aus $[b]$ _~, so gilt $a ~ a'$ und $b ~ b'$ , woraus mit (l) $a*b ~ a*b'$ und mit (r) $a*b' ~ a'*b'$ folgt. Die Transitivität von $~$ liefert nun $a*b ~ a'*b'$ . Also liegt $a'*b'$ in $[a*b]$ _~ und diese Klasse stimmt mit $[a'*b']$ _~ überein. Daher ist die Multiplikation * durch (1) wohldefiniert und nicht von den ausgewählten Repräsentanten der Klassen abhängig. Also ist $(G/~,*)$ ein Gruppoid, das Faktorgruppoid von $G$ nach $~$ .

Ersichtlich ist wegen (1) mit $(G,*)$ auch $(G/~,*)$ idempotent, kommutativ oder assoziativ. Ganz allgemein übertragen sich alle durch Gleichungen definierten Eigenschaften von $(G,*)$ auf $(G/~,*)$

Besitzt $(G,*)$ ein neutrales Element $e$ , so ist $[e]$ _~ neutrales Element von $(G/~,*)$ , und ist $a'$ ein zu $a$ aus $G$ inverses Element, so ist $[a']$ _~ eine zu $[a]$ _~ inverse Klasse von $(G/~,*)$ , wiederum wegen (1). Damit ist $(G/~,*)$ für eine Gruppe $(G,*)$ wieder eine Gruppe, die Faktorgruppe von $(G,*)$ nach $~$ .

Ist $(G/~,*)$ Faktorgruppoid des Gruppoids $(G,*)$ , so wird durch

(2)

f

_~(a) = [a]_~ für alle a aus G

wegen (1) offensichtlich ein surjektiver Homomorphismus $f$ _~ : G -> G/~ definiert, der natürliche oder kanonische Epimorphismus.

Beispiele zum Homomorphiesatz:

In der abelschen Gruppe $(Z,+)$ ist jede der Untergruppen $(n*Z,+)$ bereits ein Normalteiler. Die Faktorgruppe $(Z/n*Z,+)$ heißt jeweils die Gruppe der Restklassen modulo n.