Kürzbarkeit

Ein Element $a$ eines Gruppoids $(G,*)$ heißt linkskürzbar, wenn für alle $x$ und $y$ aus $G$

(l)

aus

a*x = a*y

stets

x = y

folgt;

entsprechend heißt es rechtskürzbar, wenn

(r)

aus

x*a = y*a

stets

x = y

folgt.

Ein kürzbares Element ist eines, das sowohl links- als auch rechtskürzbar ist.

Ersichtlich ist ein neutrales [linksneutrales, rechtsneutrales] Element von $(G,*)$ stets kürzbar [linkskürzbar, rechtskürzbar].

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt kürzbar [linkskürzbar, rechtskürzbar], wenn jedes $a$ aus $G$ die entsprechende Eigenschaft hat.

Sind $a$ und $b$ kürzbare [linkskürzbare, rechtskürzbare] Elemente einer Halbgruppe $(H,*)$ , so gilt dasselbe für $a*b$ , denn für alle $x$ und $y$ aus $H$ folgt aus

(a*b)*x = (a*b)*y

wegen der Assoziativität

a*(b*x) = a*(b*y)

und hieraus wegen der Linkskürzbarkeit von $a$ zunächst

b*x = b*y.

Die Linkskürzbarkeit von $b$ liefert nun direkt $x = y$ . Analog ergibt sich die Behauptung über die Rechtskürzbarkeit. Gibt es in einer Halbgruppe $(H,*)$ also überhaupt ein kürzbares [linkskürzbares, rechtskürzbares] Element, so bilden alle Elemente mit der jeweiligen Eigenschaft eine Unterhalbgruppe von $(H,*)$ . Dies ist also insbesondere für jedes Monoid der Fall.

Gilt $a*e = a$ für Elemente $a$ und $e$ einer Halbgruppe $(H,*)$ und ist $a$ linkskürzbar, so ist $e$ ein linksneutrales Element von $(H,*)$ , denn aus $(a*e)*b = a*b$ für alle $b$ aus $H$ folgt wegen der Assoziativität und der Linkskürzbarkeit von $a$ sofort $e*b = b$ . Insbesondere ist also ein idempotentes und linkskürzbares Element einer Halbgruppe bereits linksneutral. Damit kann also keine kürzbare Halbgruppe (und erst recht keine Gruppe) zwei verschiedene idempotente Elemente enthalten.

Jedes endliche kürzbare Gruppoid $(G,*)$ ist bereits eine Quasigruppe, denn für jedes $a$ aus $G$ sind dann sowohl die Linkstranslation $l$ _a als auch die Rechtstranslation $r$ _a injektive Transformationen auf der endlichen Menge $G$ und daher bereits bijektiv. Dies bedeutet aber, daß für alle $b$ aus $G$ die Gleichungen $a*y = b$ und $x*a = b$ eindeutig lösbar sind. Speziell ist also jede endliche kürzbare Halbgruppe bereits eine Gruppe.