L-Gruppoide

Ein Gruppoid (G,*) heißt ein L-Gruppoid1), wenn

(1)

a * a = a

und

(2)

(a * b) * c = a * c

für alle a,b,c aus G erfüllt sind.

Dual dazu werden R-Gruppoide definiert, indem man (2) durch die Bedingung a * (b * c) = a * c ersetzt. Für Halbgruppen erhält man in beiden Fällen also genau die rektangulären Bänder.

Jedes L-Gruppoid ist antikommutativ und wie jedes idempotente Gruppoid total antikommutativ, denn zunächst gilt (a * b) * a = a * a = a und damit folgt aus a * b = b * a weiter b = (b * a) * b = (a * b) * b = a * b = b * a = a.

Es gibt 2 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 2.
Es gibt 3 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 3.
Es gibt 9 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 4.
Es gibt 24 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 5.
Es gibt 207 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 6.
Es gibt 2928 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 7.
Es gibt 103247 nichtisomorphe L-Gruppoide der Ordnung 8.

Die beiden nichtisomorphen L-Gruppoide der Ordnung 2 haben folgende Cayley-Tafeln:

*
0 1
0
1
0 0
1 1
*
0 1
0
1
0 1
0 1

Dies sind die Linkszerohalbgruppe und die Rechtszerohalbgruppe der Ordnung 2, also genau die rektangulären Bänder der Ordnung 2.

Die drei nichtisomorphen L-Gruppoide der Ordnung 3 haben folgende Cayley-Tafeln:

*
0 1 2
0
1
2
0 0 0
1 1 1
2 2 2
*
0 1 2
0
1
2
0 0 0
1 1 2
1 1 2
*
0 1 2
0
1
2
0 1 2
0 1 2
0 1 2

Wieder ergeben sich die Linkszerohalbgruppe (erste Tafel) und die Rechtszerohalbgruppe (dritte Tafel). Das durch die zweite Tefel gegebene L-Gruppoid ist wegen (1 * 0) * 2 = 1 * 2 = 2 und 1 * (0 * 2) = 1 * 0 = 1 nicht assoziativ und daher das kleinste "echte" L-Gruppoid.

1) W. Guggenberger, J. Rung, L-Gruppoide: Algebraische und topologische Eigenschaften spezieller Gruppoide, Heldermann Verlag, 2003.