Lineare Abbildungen

Es seien $(V,+)$ und $(W,+)$ Vektorräume über demselben Körper $(K,+,*)$. Eine Abbildung $f\; :\; V\; ->\; W$ heißt linear oder ein Vektorraumhomomorphismus, wenn für alle Vektoren $$x, y aus $V$ und alle Skalare $k$ aus $K$ gilt

(1)

(2)

Dabei bedeutet (1) (die Additivität von $f$) also, daß es sich um einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe $(V,+)$ in die Gruppe $(W,+)$ handelt, und (2) nennt man auch die Homogenität von $f$, also die Verträglichkeit von $f$ mit den äußeren Verknüpfungen der Vektorräume.

Die Bezeichnungen Isomorphismus, Endomorphismus, Automorphismus etc. werden wie bei Gruppenhomomorphismen gebraucht.

Auch unter dem Kern von $f$ versteht man wie bei (additiv geschriebenen) Gruppen

(3)

für den Nullvektor $$o von $(W,+)$. Man rechnet leicht nach, daß $ker(f)$ nicht nur Untergruppe von $(V,+)$, sondern sogar ein Untervektorraum ist. Ebenso ist die Injektivität von $f$ wie bei Gruppen durch $|\; ker(f)\; |\; =\; 1$ charakterisiert.

Die Nacheinanderanwendung von linearen Abbildungen ist offensichtlich wieder eine lineare Abbildung, die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist wieder ein Isomorphismus. Man hat hierbei wegen der entsprechenden Aussagen für Gruppen nur noch jeweils die Homogenität zu prüfen. Da die identische Abbildung auf $V$ ein Endomorphismus ist, bildet die Menge $End(V)$ aller Endomorphismen eines Vektorraumes bezüglich der Nacheinanderanwendung ein Monoid $(End(V),o)$. In ihm ist die Untergruppe der Einheiten offensichtlich gerade die Automorphismengruppe $(Aut(V),o)$.