Linkssymmetrische und rechtssymetrische Gruppoide


Ein Gruppoid (G,*) heißt linkssymetrisch oder ein LS-Gruppoid, wenn

(LS)

a * (a * b) = b,

und rechtssymmetrisch oder ein RS-Gruppoid, wenn

(RS)

(b * a) * a = b

für alle a,b aus G gilt. Ein idempotentes LS-Gruppoid wird ein LSI-Gruppoid genannt, ein linksdistributives LS-Gruppoid entsprechend LSLD-Gruppoid, und ein LSLDI-Gruppoid1) ist eines, das linksdistributiv, linkssymmetrisch und idempotent ist. Weitere Varietäten von Gruppoiden, die in der zitierten Arbeit angesprochen werden, sind die LSM- bzw. LSMI-Gruppoide, die medialen LS- bzw. LSI-Gruppoide, und die LDI-Gruppoide, also die linksdistributiven idempotenten Gruppoide.


Bezeichnet la : G -> G gemäß la(x) = a * x für alle x aus G die Linkstranslation in dem Grupppoid (G,*), so besagt (LS) gerade la o la = idG. Die linkssymetrischen Gruppoide sind also genau diejenigen Gruppoide, für die jede Linkstranslation die identische Abbildung ist oder eine (natürlich bijektive) Involution. Dabei ist la genau dann die Identität, wenn a ein Linkseinselement ist. Eine Permutation ist genau dann eine Involution, wenn sie aus dem Produkt paarweise disjunkter Transpositionen besteht, d. h. wenn sie jeweils disjunkte Paare von Elementen von G vertauscht.

Dagegen bedeutet die Linksdistributivität gerade, daß jede Linkstranslation eine Endomorphismus ist.


Jedes LS-Gruppoid ist linkskürzbar, denn aus a * b = a * c folgt mit (LS) sofort b = c. Außerdem besitzt die Gleichung a * x = b dann die eindeutig bestimmte Lösung x = a * b. Jedes LS-Gruppoid ist daher eine Linksquasigruppe.

Jedes LSMI-Gruppoid ist flexibel, denn jedes idempotente und mediale Gruppoid ist distributiv und jedes idempotente und distributive Gruppoid ist flexibel.


Ist ein LSI-Gruppoid linksalternativ, so gilt a * b = (a * a) * b = a * (a * b) = b, d. h. (G,*) ist bereits eine Rechtszerohalbgruppe und daher auch ein LSLDI-Gruppoid. Diese Halbgruppen sind also genau die alternativen LSI-Gruppoide bzw. LSLDI-Gruppoide. Jeder mindestens zweielementige Halbverband ist ein Beispiel für ein LDI-Gruppoid, das nicht linkssymmetrisch ist.

Kommutative LSI-Gruppoide werden auch Steinersche Quasigruppen genannt.


Weitere Beispiele für LSLDI-Gruppoide (G,*) erhält man aus Gruppen (G,o) durch die Definition

(1)

a * b = a o b-1 o a

für alle a,b aus G.

Dann gelten nämlich a * a = a * a-1 * a = a, a * (a * b) = a o (a o b-1 o a)-1 o a = a o a-1 o b o a-1 o a = b und (a * b) * (a * c) = (a o b-1 o a) o (a o c-1 o a)-1 o (a o b-1 o a) = (a o b-1 o a) o (a-1 o c o a-1) o (a o b-1 o a) = a o b-1 o c o b-1 o a = a o (b o c-1 b)-1 o a = a * (b * c).

Man nennt dann das Gruppoid (G,*) das Herz der Gruppe (G,o). Ist hierbei (G,o) abelsch, so gilt (a * b) * (c * d) = (a o b-1 o a) o (c o d-1 o c)-1 o (a o b-1 o a) = (a o b-1 o a) o (c-1 o d o c-1) o (a o b-1 o a) = (a o c-1 o a) o (b-1 o d o b-1) o (a o c-1 o a) = (a * c) * (b * d), d. h. (G,*) ist medial und daher auch rechtsdistributiv.

Diese Konstruktion kann man verallgemeinern, indem man die Gruppe (G,o) durch eine linksseitige Bol-Loop ersetzt.


Die Anzahlen nichtisomorpher LSI-Gruppoide lauten wie folgt:
Ordnung 1: 1 (die einelementige Gruppe)
Ordnung 2: 1 (die zweielementige Rechtszerohalbgruppe)
Ordnung 3: 4 (vgl. hier)
Ordnung 4: 19
Ordnung 5: 971
Ordnung 6: 433253


Es gibt neben der zweielementigen Rechtszerohalbgruppe bis auf Isomorphie noch genau ein LSLD-Gruppoid, das durch die folgende Cayley-Tafel gegeben ist. Es ist ersichtlich nicht idempotent. Daher muß das Herz der zweielementigen (zyklischen) Gruppe die Rechtszerohalbgruppe sein, was man auch leicht nachrechnet.

*
a b
a
b
b a
b a


1) David Stanovsky, A survey of left symmetric left distributive groupoids.