Linkssymmetrische und rechtssymetrische Gruppoide

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt linkssymetrisch oder ein LS-Gruppoid, wenn

(LS)

a * (a  * b) = b,

und rechtssymmetrisch oder ein RS-Gruppoid, wenn

(RS)

(b * a) * a = b

für alle $a,b$ aus $G$ gilt. Ein idempotentes LS-Gruppoid wird ein LSI-Gruppoid genannt, ein linksdistributives LS-Gruppoid entsprechend LSLD-Gruppoid, und ein LSLDI-Gruppoid¹⁾ ist eines, das linksdistributiv, linkssymmetrisch und idempotent ist. Weitere Varietäten von Gruppoiden, die in der zitierten Arbeit angesprochen werden, sind die LSM- bzw. LSMI-Gruppoide, die medialen LS- bzw. LSI-Gruppoide, und die LDI-Gruppoide, also die linksdistributiven idempotenten Gruppoide.

Bezeichnet $l$ _a : G -> G gemäß $l$ _a(x) = a * x für alle $x$ aus $G$ die Linkstranslation in dem Grupppoid $(G,*)$ , so besagt (LS) gerade $l$ _a o l_a = id_G. Die linkssymetrischen Gruppoide sind also genau diejenigen Gruppoide, für die jede Linkstranslation die identische Abbildung ist oder eine (natürlich bijektive) Involution. Dabei ist $l$ _a genau dann die Identität, wenn $a$ ein Linkseinselement ist. Eine Permutation ist genau dann eine Involution, wenn sie aus dem Produkt paarweise disjunkter Transpositionen besteht, d. h. wenn sie jeweils disjunkte Paare von Elementen von $G$ vertauscht.

Dagegen bedeutet die Linksdistributivität gerade, daß jede Linkstranslation eine Endomorphismus ist.

Jedes LS-Gruppoid ist linkskürzbar, denn aus $a * b = a * c$ folgt mit (LS) sofort $b = c.$ Außerdem besitzt die Gleichung $a * x = b$ dann die eindeutig bestimmte Lösung $x = a * b.$ Jedes LS-Gruppoid ist daher eine Linksquasigruppe.

Jedes LSMI-Gruppoid ist flexibel, denn jedes idempotente und mediale Gruppoid ist distributiv und jedes idempotente und distributive Gruppoid ist flexibel.

Ist ein LSI-Gruppoid linksalternativ, so gilt

a * b = (a * a) * b = a * (a * b) = b,

d. h.

(G,*)

ist bereits eine Rechtszerohalbgruppe und daher auch ein LSLDI-Gruppoid. Diese Halbgruppen sind also genau die alternativen LSI-Gruppoide bzw. LSLDI-Gruppoide. Jeder mindestens zweielementige Halbverband ist ein Beispiel für ein LDI-Gruppoid, das nicht linkssymmetrisch ist.

Kommutative LSI-Gruppoide werden auch Steinersche Quasigruppen genannt.

Weitere Beispiele für LSLDI-Gruppoide $(G,*)$ erhält man aus Gruppen $(G,o)$ durch die Definition

(1)

a * b = a o b

^-1 o a

für alle $a,b$ aus $G$ .

Dann gelten nämlich $a * a = a * a$ ^-1 * a = a, $a * (a * b) =
a o (a o b$ ^-1 o a)^-1 o a = a o a^-1 o b o a^-1 o a = b und $(a * b) * (a * c) = (a o b$ ^-1 o a) o (a o c^-1 o a)^-1 o (a o b^-1 o a) = (a o b^-1 o a) o (a^-1 o c o a^-1) o (a o b^-1 o a) = a o b^-1 o c o b^-1 o a = a o (b o c^-1 b)^-1 o a = a * (b * c).

Man nennt dann das Gruppoid $(G,*)$ das Herz der Gruppe $(G,o)$ . Ist hierbei $(G,o)$ abelsch, so gilt $(a * b) * (c * d) = (a o b$ ^-1 o a) o (c o d^-1 o c)^-1 o (a o b^-1 o a) = (a o b^-1 o a) o (c^-1 o d o c^-1) o (a o b^-1 o a) = (a o c^-1 o a) o (b^-1 o d o b^-1) o (a o c^-1 o a) = (a * c) * (b * d), d. h. $(G,*)$ ist medial und daher auch rechtsdistributiv.

Diese Konstruktion kann man verallgemeinern, indem man die Gruppe $(G,o)$ durch eine linksseitige Bol-Loop ersetzt.

Die Anzahlen nichtisomorpher LSI-Gruppoide lauten wie folgt:
Ordnung 1: 1 (die einelementige Gruppe)
Ordnung 2: 1 (die zweielementige Rechtszerohalbgruppe)
Ordnung 3: 4 (vgl. hier)
Ordnung 4: 19
Ordnung 5: 971
Ordnung 6: 433253

Es gibt neben der zweielementigen Rechtszerohalbgruppe bis auf Isomorphie noch genau ein LSLD-Gruppoid, das durch die folgende Cayley-Tafel gegeben ist. Es ist ersichtlich nicht idempotent. Daher muß das Herz der zweielementigen (zyklischen) Gruppe die Rechtszerohalbgruppe sein, was man auch leicht nachrechnet.

b	a
b	a

¹⁾ David Stanovsky, A survey of left symmetric left distributive groupoids.