LSI- und LSLDI-Gruppoide der Ordnung 3

Zur Bestimmung aller nichtisomorphen linkssymmetrischen und idempotenten Gruppoide auf der dreielementigen Menge $G\; =\; \{a,\; b,\; c\}$ werden diese Gruppoide nach der Anzahl ihrer Linkseinselemente eingeteilt. Weiterhin wird davon Gebrauch gemacht, daß die Linkstranslation für jedes Element entweder die identische Abbildung ist, falls es sich nämlich um ein Linkseinselement handelt, oder eine Involution ist.

Besteht $G$ aus 3 Linkseinselementen, so handelt es sich um die Rechtszerohalbgruppe auf $G$. Diese ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Außerdem ist sie natürlich linksdistributiv, also sogar ein LSLDI-Gruppoid.

Besitzt $G$ genau 2 Linkseinselemente, so kann man diese als $a$ und $b$ wählen. Das dritte Element $c$ muß idempotent sein, seine Linkstranslation $l$_c darf aber nicht die identische Abbildung sein, da sonst $c$ ebenfalls ein Linkseinselement wäre. Also muß $l$_c gerade $a$ mit $b$ vertauschen. Die Cayley-Tafel von $(G,*)$ ist damit aber wiederum eindeutig bestimmt.

Da jedes Linkseinselement $e$ die Gleichung zur Linksdistributivität $e*(x*y)=\; x*y\; =\; (e*x)*(e*y)$ erfüllt, $c*(x*x)\; =\; c*x\; =\; (c*x)*(c*x)$ sowie $c*(c*x)=\; (c*c)*(c*x)$ aufgrund der Idempotenz ebenfalls immer gelten, bleibt die Linksdistributivität nur in den folgenden Fällen zu prüfen: $c*(a*b)\; =\; c*b\; =\; a\; =\; b*a\; =\; (c*a)*(c*b)$ und analog $c*(b*a)\; =\; c*a\; =\; b\; =\; a*b\; =\; (c*b)*(c*a)$. Also ist dieses Gruppoid ebenfalls ein LSLDI-Gruppoid.

Besitzt $G$ genau ein Linkseinselement, so kann dies als $a$ gewählt werden. Für $b$ und $c$ gelten dann aber die gleichen Argumente wie für $c$ im vorhergehenden Fall. Daher ist auch jetzt die Cayley-Tafel eindeutig bestimmt.

Dieses Gruppoid ist wegen $b*(a*c)\; =\; b*c\; =\; a$ und $(b*a)*(b*c)\; =\; c*a\; =\; b$ nicht linksdistributiv, also kein LSLDI-Gruppoid.

Besitzt nun $(G,*)$ gar kein Linkseinselement, so müssen alle drei Linkstranslationen $l$_x jeweils $x$ als Fixpunkt besitzen und die beiden anderen Elemente miteinander vertauschen. Daher ergibt sich auch hierfür eine eindeutig bestimmte Cayley-Tafel. Es handelt sich bei $(G,*)$ nun um die dreielementige kommutative und idempotente Quasigruppe, also eine Steinersche Quasigruppe. Diese LSI-Gruppoid ist damit auch distributiv, also ebenfalls ein LSLDI-Gruppoid. Es ist außerdem das Herz der dreielementigen (zyklischen) Gruppe.

Damit sind alle vier nichtisomorphen LSI-Gruppoide und alle drei nichtisomorphen LSLDI-Gruppoide der Ordnung 3 bestimmt.