Links-Rechts-Dualität und Anti-Isomorphie

Ist $(G,*)$ ein beliebiges Gruppoid, so kann man auf $G$ die zu * (links-rechts-)duale Verknüpfung $*\text{'}$ definieren gemäß

(1)

für alle $a$ und $b$ aus $G$. Man nennt dann $(G,*\text{'})$ auch das zu $(G,*)$ (links-rechts-)duale Gruppoid. Beide Gruppoide stimmen offensichtlich genau dann überein, wenn * kommutativ ist. Ein solches Gruppoid ist dann selbstdual. Weiterhin wird eine in $(G,*)$ wahre Aussage zu einer wahren Aussage in $(G,*\text{'})$, wenn man alle "linksseitigen" Begriffe durch ihre dualen "rechtsseitigen" Begriffe ersetzt und umgekehrt, etwa "linkskürzbar" durch "rechtskürzbar" und umgekehrt. (Natürlich bleiben alle "selbstdualen" Begriffe, wie Idempotenz, Assoziativität etc. davon unbetroffen.) Man kann also sagen, daß $(G,*)$ und $(G,*\text{'})$ im wesentlichen gleich sind. Dies läßt sich durch den Begriff des Anti-Isomorphismus präzisieren.

Unter einem Anti-Isomorphismus eines Gruppoids $(G,*)$ auf ein Gruppoid $(G\text{'},*\text{'})$ versteht man eine bijektive Abbildung $f\; :\; G\; ->\; G\text{'}$ bei der für alle $a,\; b$ aus $G$ gilt

(2)

Wegen (1) ist also die identische Abbildung auf $G$ ein Anti-Isomorphismus von $(G,*)$ auf sein duales Gruppoid $(G,*\text{'})$. Andererseits ist der Begriff des Anti-Isomorphismus aber entbehrlich, denn man kann (2) mit Hilfe von (1) auch so interpretieren, daß $f\; :\; G\; ->\; G\text{'}$ dann ein (gewöhnlicher) Isomorphismus von $(G,*)$ auf das zu $(G\text{'},*\text{'})$ duale Gruppoid ist. Zwei Gruppoide sind also genau dann anti-isomorph, wenn jeweils eines von ihnen zum dualen Gruppoid des anderen isomorph ist.

Für Gruppen spielt der Begriff der (links-rechts-)dualen Gruppe keine Rolle, denn jede Gruppe $(G,*)$ ist bereits vermöge der bijektiven(!) Abbildung $f\; :\; G\; ->\; G$ mit $f(a)\; =\; a-1$ für alle $a$ aus $G$ zu ihrer links-rechts-dualen Gruppe $(G,*\text{'})$ isomorph, denn für alle $a,\; b$ aus $G$ gilt ja $(a*b)-1=\; b-1*a-1$.