Matrizen

Es sei $X$ eine beliebige, nichtleere Menge. Unter einer $m\; x\; n$-Matrix $A\; =\; (a$_i,j ) über $X$ (oder mit Einträgen aus $X$ ) versteht man ein rechteckiges Schema von $m*n$ Elementen $a$_i,j aus $X$ für $i\; =\; 1,...,m$ und$ j\; =\; 1,...,n$.\; Man\; nennt\; das\; Paar$ (m,n)$auch\; den$$Typ der $m\; x\; n$-Matrix $A$. Für $m\; =\; n$ heißt die Matrix $A$ quadratisch.
Im Fall $m\; =\; 1$ nennt man die $1\; x\; n$-Matrix $A\; =\; (a$_1,j ) auch einen (Zeilen-)Vektor, im Fall $n\; =\; 1$ entsprechend die $m\; x\; 1$-Matrix $A\; =\; (a$_i,1 ) einen (Spalten-)Vektor. In beiden Fällen läßt man den konstanten Index 1 dann üblicherweise weg. Jede $m\; x\; n$-Matrix wird also aus $m$ Zeilenvektoren und $n$ Spaltenvektoren aufgebaut. Man nennt daher für jedes feste $i$ die Elemente $a$_i,j, j=1,...,n die $i$-te Zeile und für jedes feste $j$ die Elemente $a$_i,j, i=1,...,m die $j$-te Spalte von $A$. Das Element $a$_i,j am Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte heißt auch die Koordinate oder der Koeffizient von $A$ an der Stelle $(i,j\; )$. Die Elemente $a$_i,i für $i\; =\; 1,...,min(m,n)$ nennt man die Diagonalelemente (oder die Elemente auf der Hauptdiagonalen) von $A$.

Ist $A\; =\; (a$_i,j) eine $m\; x\; n$-Matrix, so heißt die $n\; x\; m$-Matrix $B\; =\; (b$_j,i ) mit $b$_j,i = a_i,j die Transponierte von $A$ und man schreibt $AT=\; B$. Man kann also sagen, daß $AT$ aus $A$ durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen entsteht. Also ist die Transponierte eines Zeilenvektors ein Spaltenvektor und umgekehrt. Weiterhin gilt offensichtlich $(AT)T=\; A$ für jede Matrix $A$. Eine quadratische Matrix $A$ mit $AT=\; A$ nennt man symmetrisch.

Ist $(G,*)$ ein Gruppoid, so ist für je zwei $m\; x\; n$-Matrizen $A$ und $B$ ein (punktweises) Matrizenprodukt erklärt durch $A\; .\; B\; =\; (a$_i,j ) . (b_i,j ) = (a_i,j * b_i,j ) für alle $i=1,...,m,\; j=1,...,n$. Man nennt dieses Produkt auch das Hadamard-Produkt für Matrizen. Da es sich hierbei genau um die Verknüpfung des $m*n$-fachen direkten Produktes von $(G,*)$ mit sich selbst handelt, ist damit $(M$_n,n(G),.) also genau dann eine ( kommutative, idempotente Halb-) Gruppe, wenn dies für $(G,.)$ gilt.

Weiterhin kann man für jedes $a$ aus $G$ eine skalare (Links-)Multiplikation und eine skalare (Rechts-)Multiplikation mit jeder $m\; x\; n$-Matrix $B\; =\; (b$_i,j ) erklären durch $a\; B\; =\; (a*b$_i,j ) bzw. $B\; a\; =\; (b$_i,j*a ). Diese skalare Multiplikation entspricht gerade dem Hadamard-Produkt $A\; .\; B$ bzw. $B\; .\; A$ mit der Matrix $A\; =\; (a$_i,j ), die $a$_i,j = a für sämtliche Koeffizienten erfüllt. Offensichtlich gilt $a\; B\; =\; B\; a$ genau dann, wenn $a$ mit allen Elementen $b$_i,j vertauschbar ist, also insbesondere, wenn $a$ im Zentrum von $(G,*)$ liegt. Ist schließlich $(G,*)$ eine Halbgruppe, so gilt die Operatorgleichung $a\; (a\text{'}\; B)\; =\; (a*a\text{'})\; B$ bzw. $(B\; a)\; a\text{'}\; =\; B\; (a*a\text{'})$ für alle $a,\; a\text{'}$ aus $G$ und alle Matrizen $B$ über $G$.

Ist $(K,+)$ ein Gruppoid, speziell etwa die additive (Halb-)Gruppe eines (Halb-)Ringes oder Körpers, so ist für je zwei $m\; x\; n$-Matrizen $A$ und $B$ die (punktweise) Matrizenaddition erklärt durch $A\; +\; B\; =\; (a$_i,j ) + (b_i,j ) = (a_i,j + b_i,j ) für alle $i=1,...,m,\; j=1,...,n$. Da es sich hierbei genau um die Verknüpfung des $m*n$-fachen direkten Produktes von $(K,+)$ mit sich selbst handelt, ist damit $(M$_m,n(K),+) also genau dann eine (kommutative, idempotente Halb-)Gruppe, wenn dies für $(K,+)$ gilt.

Besitzt das Gruppoid $(K,+)$ ein Nullelement $o$, so wird für jeden Typ $(m,n)$ eine $m\; x\; n$-Nullmatrix $O$ definiert, für die jede Koordinate den Wert $o$ besitzt. Sie ist folglich neutrales Element im Gruppoid $(M$_m,n(K),+). Weiterhin nennt man dann eine $m\; x\; n$-Matrix eine obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn $a$_i,j = o für alle Indizes ($i\; >\; j$) gilt, wenn also alle Koordinaten "unterhalb der Hauptdiagonalen" ("oberhalb der Hauptdiagonalen") den Wert $o$ besitzen. Eine Diagonalmatrix ist dann eine quadratische Matrix, die gleichzeitig obere und untere Dreiecksmatrix ist, bei der also höchstens auf der Hauptdiagonalen von $o$ verschiedene Elemente stehen. Insbesondere ist also jede quadratische Nullmatrix eine solche Diagonalmatrix!

Ist also speziell $(K,+)$ eine Gruppe, so existiert für jede $m\; x\; n$-Matrix $A\; =\; (a$_i,j ) die Entgegengesetzte $-A\; =\; (-a$_i,j ) und man nennt eine quadratische Matrix $A$ schiefsymmetrisch, wenn $AT=\; -A$ gilt. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Diagonalelemente jeder schiefsymmetrischen Matrix den Wert $o$ besitzen.

Neben diesen ganz allgemeinen Operationen für Matrizen desselben Typs kann man für zueinander "passende" Matrizen noch eine weitere wichtige Operation definieren, die Matrizenmultiplikation.

Beispiele für Matrizen: