Matrizen


Es sei X eine beliebige, nichtleere Menge. Unter einer m x n-Matrix A = (ai,j ) über X (oder mit Einträgen aus X ) versteht man ein rechteckiges Schema von m*n Elementen ai,j aus X für i = 1,...,m und j = 1,...,n. Man nennt das Paar (m,n) auch den Typ der m x n-Matrix A. Für m = n heißt die Matrix A quadratisch.
Im Fall m = 1 nennt man die 1 x n-Matrix A = (a1,j ) auch einen (Zeilen-)Vektor, im Fall n = 1 entsprechend die m x 1-Matrix A = (ai,1 ) einen (Spalten-)Vektor. In beiden Fällen läßt man den konstanten Index 1 dann üblicherweise weg. Jede m x n-Matrix wird also aus m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren aufgebaut. Man nennt daher für jedes feste i die Elemente ai,j, j=1,...,n die i-te Zeile und für jedes feste j die Elemente ai,j, i=1,...,m die j-te Spalte von A. Das Element ai,j am Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte heißt auch die Koordinate oder der Koeffizient von A an der Stelle (i,j ). Die Elemente ai,i für i = 1,...,min(m,n) nennt man die Diagonalelemente (oder die Elemente auf der Hauptdiagonalen) von A.

Im Grunde genommen ist eine m x n-Matrix über X nichts weiter als ein Element des kartesischen Produktes Xm*n, nur wird es in einer etwas unüblichen Form aufgeschrieben.

Man bezeichnet die Menge aller m x n-Matrizen über X mit Mm,n(X) und schreibt oft kurz Mn(X) für Mn,n(X).


Ist A = (ai,j) eine m x n-Matrix, so heißt die n x m-Matrix B = (bj,i ) mit bj,i = ai,j die Transponierte von A und man schreibt AT = B. Man kann also sagen, daß AT aus A durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen entsteht. Also ist die Transponierte eines Zeilenvektors ein Spaltenvektor und umgekehrt. Weiterhin gilt offensichtlich (AT )T = A für jede Matrix A. Eine quadratische Matrix A mit AT = A nennt man symmetrisch.


Ist (G,*) ein Gruppoid, so ist für je zwei m x n-Matrizen A und B ein (punktweises) Matrizenprodukt erklärt durch A . B = (ai,j ) . (bi,j ) = (ai,j * bi,j ) für alle i=1,...,m, j=1,...,n. Man nennt dieses Produkt auch das Hadamard-Produkt für Matrizen. Da es sich hierbei genau um die Verknüpfung des m*n-fachen direkten Produktes von (G,*) mit sich selbst handelt, ist damit (Mn,n(G),.) also genau dann eine ( kommutative, idempotente Halb-) Gruppe, wenn dies für (G,.) gilt.

Weiterhin kann man für jedes a aus G eine skalare (Links-)Multiplikation und eine skalare (Rechts-)Multiplikation mit jeder m x n-Matrix B = (bi,j ) erklären durch a B = (a*bi,j ) bzw. B a = (bi,j*a ). Diese skalare Multiplikation entspricht gerade dem Hadamard-Produkt A . B bzw. B . A mit der Matrix A = (ai,j ), die ai,j = a für sämtliche Koeffizienten erfüllt. Offensichtlich gilt a B = B a genau dann, wenn a mit allen Elementen bi,j vertauschbar ist, also insbesondere, wenn a im Zentrum von (G,*) liegt. Ist schließlich (G,*) eine Halbgruppe, so gilt die Operatorgleichung a (a' B) = (a*a') B bzw. (B a) a' = B (a*a') für alle a, a' aus G und alle Matrizen B über G.


Ist (K,+) ein Gruppoid, speziell etwa die additive (Halb-)Gruppe eines (Halb-)Ringes oder Körpers, so ist für je zwei m x n-Matrizen A und B die (punktweise) Matrizenaddition erklärt durch A + B = (ai,j ) + (bi,j ) = (ai,j + bi,j ) für alle i=1,...,m, j=1,...,n. Da es sich hierbei genau um die Verknüpfung des m*n-fachen direkten Produktes von (K,+) mit sich selbst handelt, ist damit (Mm,n(K),+) also genau dann eine (kommutative, idempotente Halb-)Gruppe, wenn dies für (K,+) gilt.


Besitzt das Gruppoid (K,+) ein Nullelement o, so wird für jeden Typ (m,n) eine m x n-Nullmatrix O definiert, für die jede Koordinate den Wert o besitzt. Sie ist folglich neutrales Element im Gruppoid (Mm,n(K),+). Weiterhin nennt man dann eine m x n-Matrix eine obere (untere) Dreiecksmatrix, wenn ai,j = o für alle Indizes i < j (i > j ) gilt, wenn also alle Koordinaten "unterhalb der Hauptdiagonalen" ("oberhalb der Hauptdiagonalen") den Wert o besitzen. Eine Diagonalmatrix ist dann eine quadratische Matrix, die gleichzeitig obere und untere Dreiecksmatrix ist, bei der also höchstens auf der Hauptdiagonalen von o verschiedene Elemente stehen. Insbesondere ist also jede quadratische Nullmatrix eine solche Diagonalmatrix!


Ist also speziell (K,+) eine Gruppe, so existiert für jede m x n-Matrix A = (ai,j ) die Entgegengesetzte -A = (-ai,j ) und man nennt eine quadratische Matrix A schiefsymmetrisch, wenn AT = -A gilt. Hieraus folgt unmittelbar, daß die Diagonalelemente jeder schiefsymmetrischen Matrix den Wert o besitzen.


Neben diesen ganz allgemeinen Operationen für Matrizen desselben Typs kann man für zueinander "passende" Matrizen noch eine weitere wichtige Operation definieren, die Matrizenmultiplikation.


Beispiele für Matrizen:

  • Inzidenzmatrizen.


    Zur Herkunft der Bezeichnung "Matrix".
    Weiterführende Literatur

  • R. Kochendörffer, Determinanten und Matrizen, Teubner, Leipzig, 1957.