Matrizenprodukt

Es sei $(S,+,*)$ ein additiv kommutativer Halbring. Weiterhin sei $A = (a$ _i,j ) eine $m x n$ -Matrix über $S$ und $B = (b$ _j,k ) eine $n x r$ -Matrix über $S$ . Unter dem Produkt $A*B$ versteht man dann die $m x r$ -Matrix $C (c$ _i,k ) mit

(1)

c

_i,k = a_i,1*b_1,k + ... + a_i,n*b_n,k.

Zur Berechnung von

c

_i,k wird also jedes Element der i-ten Zeile von

A

mit dem entsprechenden Element der k-ten Spalte von

B

multipliziert und über die entstehenden

n

Produkte summiert. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von

A

mit der Zeilenanzahl von

B

übereinstimmt. In allen anderen Fällen ist das Produkt von

A

und

B

(in dieser Reihenfolge) undefiniert. Durch einfache Gegenbeispiele (sogar für quadratische Matrizen) zeigt man sofort, daß selbst im Falle der Existenz von

A*B

und

B*A

beide Produkte nicht übereinstimmen müssen, daß also die Matrizenmultiplikation i. a. nicht kommutativ ist, selbst wenn

(S,*)

kommutativ ist. Sind dagegen

A, B, C

Matrizen über

S

, für die beide Produkte in

(A*B)*C

oder in

A*(B*C)

definiert sind, so existieren alle vier Produkte und es gilt

(A*B)*C = A*(B*C)

, die Matrizenmultiplikation ist also assoziativ. Der Beweis erfolgt durch elementweisen Vergleich der beiden Ergebnisse.

Existiert das Produkt $A*B$ und ist $C$ eine Matrix vom selben Typ wie $B$ , so existieren auch alle Summen und Produkte in $A*(B + C)$ und $A*B + A*C$ und beide Ergebnisse stimmen überein. Dies prüft man ebenfalls elementweise nach, wobei die Distributivität von $(S,+,*)$ ausgenutzt wird. Unter analogen Bedingungen folgt $(B + C)*A =
B*A + C*A$ , die Matrizenmultiplikation ist also distributiv über der Matrizenaddition.

Da in der Menge $M$ _n(S) je zwei Matrizen zueinander addiert und miteinander multipliziert werden können, zeigen die gerade durchgeführten Überlegungen, daß in diesem Fall $(M$ _n(S),+,*) ein (für $n > 1$ multiplikativ nicht kommutativer) Halbring ist.

Besitzt der Halbring $(S,+,*)$ ein absorbierendes Nullelement $0$ , so ist die $n x n$ -Nullmatrix wegen (1) offensichtlich absorbierendes Nullelement von $(M$ _n(S),+,*).

Besitzt $(S,+,*)$ außerdem noch ein Einselement $1$ (was insbesondere für Ringe mit Einselement und damit für Körper stets der Fall ist), so definiert man die $n x n$ -Einheitsmatrix $I$ _n = (a_i,j) durch $a$ _i,j = 1 für $i = j$ und $a$ _i,j = 0 sonst. Diese Einheitsmatrix ist dann Einselement von $(M$ _n(S),+,*). Damit ist insbesondere $(M$ _n(S),*) ein Monoid und es existiert die Untergruppe der Einheiten $U(M$ _n(S)). Matrizen aus dieser Untergruppe heißen invertierbar oder regulär. Manchmal nennt man die nicht-regulären Matrizen aus $(M$ _n(S),*) auch singulär.