Matrizenprodukt


Es sei (S,+,*) ein additiv kommutativer Halbring. Weiterhin sei A = (ai,j ) eine m x n-Matrix über S und B = (bj,k ) eine n x r-Matrix über S. Unter dem Produkt A*B versteht man dann die m x r-Matrix C (ci,k ) mit

(1)

ci,k = ai,1*b1,k + ... + ai,n*bn,k.

Zur Berechnung von ci,k wird also jedes Element der i-ten Zeile von A mit dem entsprechenden Element der k-ten Spalte von B multipliziert und über die entstehenden n Produkte summiert. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmt. In allen anderen Fällen ist das Produkt von A und B (in dieser Reihenfolge) undefiniert. Durch einfache Gegenbeispiele (sogar für quadratische Matrizen) zeigt man sofort, daß selbst im Falle der Existenz von A*B und B*A beide Produkte nicht übereinstimmen müssen, daß also die Matrizenmultiplikation i. a. nicht kommutativ ist, selbst wenn (S,*) kommutativ ist. Sind dagegen A, B, C Matrizen über S, für die beide Produkte in (A*B)*C oder in A*(B*C) definiert sind, so existieren alle vier Produkte und es gilt (A*B)*C = A*(B*C), die Matrizenmultiplikation ist also assoziativ. Der Beweis erfolgt durch elementweisen Vergleich der beiden Ergebnisse.

Existiert das Produkt A*B und ist C eine Matrix vom selben Typ wie B, so existieren auch alle Summen und Produkte in A*(B + C) und A*B + A*C und beide Ergebnisse stimmen überein. Dies prüft man ebenfalls elementweise nach, wobei die Distributivität von (S,+,*) ausgenutzt wird. Unter analogen Bedingungen folgt (B + C)*A = B*A + C*A, die Matrizenmultiplikation ist also distributiv über der Matrizenaddition.

Da in der Menge Mn(S) je zwei Matrizen zueinander addiert und miteinander multipliziert werden können, zeigen die gerade durchgeführten Überlegungen, daß in diesem Fall (Mn(S),+,*) ein (für n > 1 multiplikativ nicht kommutativer) Halbring ist.


Besitzt der Halbring (S,+,*) ein absorbierendes Nullelement 0, so ist die n x n-Nullmatrix wegen (1) offensichtlich absorbierendes Nullelement von (Mn(S),+,*).

Besitzt (S,+,*) außerdem noch ein Einselement 1 (was insbesondere für Ringe mit Einselement und damit für Körper stets der Fall ist), so definiert man die n x n-Einheitsmatrix In = (ai,j) durch ai,j = 1 für i = j und ai,j = 0 sonst. Diese Einheitsmatrix ist dann Einselement von (Mn(S),+,*). Damit ist insbesondere (Mn(S),*) ein Monoid und es existiert die Untergruppe der Einheiten U(Mn(S)). Matrizen aus dieser Untergruppe heißen invertierbar oder regulär. Manchmal nennt man die nicht-regulären Matrizen aus (Mn(S),*) auch singulär.