Metrische Räume


Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Abbildung d : X x X -> R heißt Metrik auf X und (X,d) ein metrischer Raum, wenn für alle x, y, z aus X gilt

(1)

d(x,x) = 0 und d(x,y) > 0 für x /= y,

(2)

d(x,y) = d(y,x),

(3)

d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z).

Man nennt (1) die positive Definitheit und (2) die Symmetrie von d, sowie (3) die Dreiecksungleichung.


Beispiele für metrische Räme

  • Auf jeder nicht leeren Menge X wird durch d(x,x) = 0 und d(x,y) = 1 für x /= y eine Metrik definiert, die diskrete Metrik auf X. Dabei sind (1) und (2) offensichtlich erfüllt und (3) jedenfalls für x = z. Bei x /= z ist aber auch x /= y oder y /= z und daher steht auf der rechten Seite von (3) mindestens der Wert 1, der Wert der linken Seite.

  • Ist V ein normierter Vektorraum über dem Körper R der reellen Zahlen oder dem Körper C der komplexen Zahlen mit der Norm || || : V -> R, so wird durch d(x,y) = || x - y || für alle x, y aus V eine Metrik auf V definiert. Dabei ergibt sich (1) aus der Definitheit der Norm, (2) aus der Kommutativität von (V,+) und (3) aus der Dreiecksungleichung für die Norm.