Metrische Räume

Es sei $X$ eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Abbildung $d : X x X -> R$ heißt Metrik auf $X$ und $(X,d)$ ein metrischer Raum, wenn für alle $x, y, z$ aus $X$ gilt

(1)

d(x,x) = 0 und d(x,y) > 0 für x /= y,

(2)

d(x,y) = d(y,x),

(3)

d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z).

Man nennt (1) die positive Definitheit und (2) die Symmetrie von $d$ , sowie (3) die Dreiecksungleichung.

Beispiele für metrische Räme

Auf jeder nicht leeren Menge $X$ wird durch $d(x,x) = 0$ und $d(x,y) = 1$ für $x /= y$ eine Metrik definiert, die diskrete Metrik auf $X$ . Dabei sind (1) und (2) offensichtlich erfüllt und (3) jedenfalls für $x = z$ . Bei $x /= z$ ist aber auch $x /= y$ oder $y /= z$ und daher steht auf der rechten Seite von (3) mindestens der Wert 1, der Wert der linken Seite.

Ist

V

ein normierter Vektorraum über dem Körper

R

der reellen Zahlen oder dem Körper

C

der komplexen Zahlen mit der Norm

|| || : V -> R

, so wird durch

d(x,y) = || x - y ||

für alle

x, y

aus

V

eine Metrik auf

V

definiert. Dabei ergibt sich (1) aus der Definitheit der Norm, (2) aus der Kommutativität von

(V,+)

und (3) aus der Dreiecksungleichung für die Norm.