Moufang-Identitäten, Moufang-Loops, Moufang-Quasigruppen


Es sei (G,*) ein Gruppoid. Unter den Moufang-Identitäten1) versteht man die folgenden vier Gleichungen

(M1)

(a * (b * c)) * a = (a * b) * (c * a)

(M2)

(a * c) * (b * a) = a * ((c * b) * a)

(N1)

((a * b) * c) * b = a * (b * (c * b))

(N2)

((b * c) * b) * a = b * (c * (b * a))

Offensichtlich sind (M1) und (M2) dual zueinander und ebenso (N1) und (N2).

Ist (G,*) eine Quasigruppe, so folgt (wie unten gezeigt wird) aus jeder dieser Gleichungen, daß in (G,*) ein neutrales Element e existiert, daß es sich also um eine Loop handelt. Man nennt derartige Loops auch Moufang-Loops1). Setzt man in (M1) b = e bzw. in (M2) c = e, so sieht man, daß jede Moufang-Loop flexibel ist. Dann folgt aus (M1) aber a * ((c * b) * a) = (a * (c * b)) * a = (a * c) * (b * a), also (M2). Da beide Gleichungen dual zueinander sind, sind sie daher sogar schon für Quasigruppen gleichwertig.

Setzt man in (M1) b = a, so erhält man (a * (a *c)) * a = (a * a) * (c * a) und hieraus mit der Flexibilität dann a * (a * (c * a)) = (a * a) * (c * a). Sind a, b aus G beliebig vorgegeben, so gibt es ein c aus G mit b = c * a. Es folgt a * (a * b) = (a * a) * b, d. h. (G,*) ist linksalternativ. Dual ergibt sich die Rechtsalternativität aus (M2). Jede Quasigruppe, die (M1) (und daher auch (M2)) erfüllt, ist also flexibel und alternativ.

In jeder Loop folgt aus (N1) die Flexibiltät, indem man für a das neutrale Element einsetzt. Setzt man es dagegen für c ein, so sieht man, daß die Loop rechtsalternativ ist. Dual ist jede Loop mit (N2) linksalternativ und ebenfalls flexibel.


Zum Nachweis eines neutralen Elementes in Quasigruppen mit (M1) gelte dieses Axiom und es existiere ein idempotentes Element e in (G,*). Dieses ist dann ein linksneutrales Element wegen (a * e) * a = (a * (e * e)) * a = (a * e) * (e * a) und der Linkskürzbarkeit in der Quasigruppe. Außerdem gilt (b * e) * e = (e * (b * e)) * e = (e * b) * (e * e) = b * e, d. h. wegen der Rechtskürzbarkeit ist e sogar neutrales Element. Es bleibt also die Existenz eines idempotenten Elementes zu zeigen. Zu a aus G existiert aber ein e aus G mit a * e = a. Es folgt (e * a) * e = (e * (a * e)) * e = (e * a) * (e * e) und daraus e = e * e mit der Linkskürzbarkeit.

Dual folgt aus (M2) die Existenz eines neutralen Elementes.


Der nachfolgende Beweis für die Existenz eines neutralen Elementes in Quasigruppen mit (N1) orientiert sich an dem Artikel von K. Kunen2) und besteht aus drei Teilschritten. Dual folgt natürlich die Existenz eines neutralen Elementes aus (N2).

1. Zu jedem a in G existiert ein e in G mit a * e = a = e * a.

2. Jedes e gemäß 1. ist idempotent.

3. Je zwei idempotente Elemente in (G,*) stimmen überein.

Die Beweise dieser Aussagen:

1. Zu a aus G existieren b, c aus G mit a * b = a = c * a und dann ein d aus G mit d * a = b, da (G,*) eine Quasigruppe ist. Für alle x aus G folgt dann x * a = x * (a * b) = x * (a * (d * a)) = ((x * a) * d) * a und hieraus mit der Rechtskürzbarkeit x = (x * a) * d. Hieraus erhält man (a * a) * c = ((a * a) * c) * a) * d = (a * (a * (c * a)) * d = (((a * a) * d) * (a * a)) * d = (a * a) * (d * ((a * a) * d)) = (a * a) *(d * a) = (a * a) * b. Die Linkskürzbarkeit liefert nun b = c und damit ein Element der behaupteten Art.

2. Gilt a * e = a = e * a, so existiert in der Quasigruppe ein x mit x * e = e. Es folgt e * a = a = ((x * e) * a) * e = x * ((e * (a * e)) = x * a, also x = e und damit e * e = e.

3. Gilt (N1) und ist e ein idempotentes Element aus G, so folgt a = (a * e) * e wegen ((a * e) * e) * e = a * (e * (e * e)) = a * e und der Rechtskürzbarkeit. Sei f aus G ebenfalls idempotent. Für a = e * f folgt dann a * f = (e * f) * f = e und damit a = e * f = (e * e) * f = ((a * f) * e) * f = a * (f * (e * f)) = a * (f * a) sowie ((a * a) * f) * a = a * (a * (f * a)) = a * a = ((a * f) * f) * a. Mehrfaches Kürzen liefert nun a = f, also e * f = a = f = f * f und daher e = f. Jede Quasigruppe mit (N1) kann daher nur ein idempotentes Element enthalten.


Jede flexible Loop (G,*) besitzt die Inverseneigenschaft, d. h. zu jedem a aus G existiert ein eindeutig bestimmtes Element a-1 aus G mit

(I)

a-1 * a = e = a * a-1.

Ist nämlich b das eindeutig bestimmte Element aus G mit a * b = e, so folgt a * (b * a) = (a * b) * a = e * a = a = a * e und daher mit der Linkskürzbarkeit auch b * a = e.

Natürlich folgt aus (I) sofort (a-1)-1 = a. Man schreibt dann x = b * a-1 und y = a-1 * b für die eindeutig bestimmten Lösungen der Gleichungen x * a = b und a * y = b.


In jeder Loop mit (M1) oder (N1) gelten für alle a,b,c,... aus G neben (I) noch weitere Aussagen:

(1)

a-1 * (a * b) = b und (a * b) * b-1 = a.

(2)

(a * b)-1 = b-1 * a-1.

Aus (N1) folgt a-1 * (a * (c * a)) = ((a-1 * a) * c) * a = c * a. Zu a,b existiert aber immer ein c mit b = c * a. Dies zeigt die erste Gleichung in (1). Zum Beweis der zweiten Gleichung sei x aus G das Element mit x * b-1 = a. Dann folgt aus (N1) und der Flexibilität a = x * b-1 = x * ((b-1 * b) * b-1) = x * (b-1 * (b * b-1)) = ((x * b-1) * b) * b-1 = (a * b) * b-1.

Aus (M1) folgt b * a-1 = (a-1 * a) * (b * a-1) = (a-1 * (a * b)) * a-1 und daher mit der Rechtskürzbarkeit bereits die erste Gleichung in (1). Die zweite Gleichung folgt dual aus (M2), was aber, wie oben bereits gezeigt, gleichwertig zu (M1) ist.

Aus (1) folgt stets b-1 = (a * b)-1 * ((a * b) * b-1) = (a * b)-1 * a und damit b-1 * a-1 = ((a * b)-1 * a) * a-1 = (a * b)-1.


Satz :Die zueinander dualen Axiome (N1) und (N2) sind für Loops (und damit schon für Quasigruppen) gleichwertig.

Beweis: Wegen der Dualität der beiden Axiome reicht es zu zeigen, daß (N1) stets (N2) impliziert.


Satz: Die vier Moufang-Identitäten sind für Loops (und daher auch für Quasigruppen) äquivalent.

Beweis: Da schon gezeigt wurde, daß (M1) und (M2) gleichwertig sind und dasselbe für (N1) und (N2) zutrifft, wird nun noch gezeigt, daß aus (N1) und (N2) bereits (M1) folgt und daß (M1) auch (N1) impliziert. Gelten also zunächst (N1) und (N2). Dann folgt mit (N1) und (1) a * (b * c) = a * (b * (a * (a-1 * c))) = ((a * b) * a) * (a-1 * c) und daraus mit (N2) (a * (b * c)) * a = (((a * b) * a) * (a-1 * c)) * a = (a * b) * (a * ((a-1 * c) * a) = (a * b) * ((a * (a-1 * c)) * a) = (a * b) * (c * a), also (M1).

Gilt nun umgekehrt (M1), so folgt ((a * b) * c) * b = ((a * b) * c) * (a-1 * (a * b)) = (a * b) * ((c * a-1) * (a * b) = (a * b) * ((b-1 * (b * (c * a-1))) * (a * b) = ((a * b) * b-1) * ((b * (c * a-1)) * (a * b)) = a * (b * ((c * a-1) * a) * b) = a * (b * (c * b)), also (N1).


Eine Moufang-Loop (G,*) heißt kommutativ, wenn

(K)

(a * a) * (b * c) = (a * b) * (a * c)

für alle a,b,c aus G erüllt ist.


1) Ruth Moufang, Zur Theorie der Alternativkörper, Mathematische Annalen 110 (1934), 416 - 430. (Dort werden derartige Loops noch Quasigruppen genannt.)

2) Kenneth Kunen, Moufang Quasigroups, Journal of Algebra 183 (1996), 231 - 234. (Dort als Theorem 2.2.)