Die Natürlichen Zahlen


Unter den natürlichen Zahlen wird hier die Menge N0 = {0, 1, 2, ...} verstanden, die mit ihrer natürlichen Anordnung 0 < 1 < 2 < ... versehen sein soll.


Halbgruppen natürlicher Zahlen

Auf dieser Menge N0 ist als eine innere Verknüpfung die gewöhnliche Addition + definiert. Sie ist bekanntlich assoziativ und kommutativ und die Zahl 0 ist neutrales Element dieser Verknüpfung. Es handelt sich also bei (N0,+) um ein kommutatives Monoid.

Andererseits ist auf N0 auch die gewöhnliche Multiplikation * als innere Verknüpfung definiert, die ebenfalls assoziativ und kommutativ ist und für die die Zahl 1 neutrales Element ist. Also ist auch (N0,*) ein kommutatives Monoid.

Man kann aber auf N0 auch die durch a*b=min(a,b) für alle a und b aus N0 definierte Verknüpfung * betrachten. Sie ist nicht nur assoziativ und kommutativ, sondern auch idempotent, besitzt aber kein neutrales Element. Es handelt sich also bei (N0,min) um eine (kommutative und idempotente) Halbgruppe, die kein Monoid ist.

Ändert man die Verknüpfung aus dem vorigen Beispiel zu a*b=max(a,b), so erhält man ein kommutatives und idempotentes Monoid (N0,max), denn die Zahl 0 ist nun neutrales Element.


Halbringe natürlicher Zahlen

Da für die gewöhnliche Addition + und Multiplikation * natürlicher Zahlen die beiden Distributivgesetze gelten, handelt es sich bei (N0,+,*) um einen kommutativen Halbring mit absorbierendem Nullelement 0 und Einselement 1.

Man prüft durch einfache Fallunterscheidungen leicht nach, daß für alle a, b, c aus N0 die Gleichungen

a*max(b,c) = max(a*b,a*c) und a+max(b,c) = max(a+b,a+c)

sowie

a*min(b,c) = min(a*b,a*c) und a+min(b,c) = min(a+b,a+c)

gelten. Daher sind auch (N0,max,*), (N0,max,+), (N0,min,*) und (N0,min,+) Halbringe.

Da es sich bei min und max um die beiden Verbandsoperationen in der linear geordneten Menge N0 = {0 < 1 < 2 < ...} handelt, bilden sowohl (N0, min, max) als auch (N0, max, min) einen distributiven Verband, also ebenfalls je einen Halbring.

Die multiplikativen und additiven Eigenschaften dieser Halbringe bzw. die Existenz neutraler Elemente ergeben sich aus den Bemerkungen über die entsprechenden Halbgruppen weiter oben.


Ein echtes Gruppoid natürlicher Zahlen

Die Exponentiation n * m = nm für n, m aus N = {1, 2, 3,...} liefert ein Gruppoid (N,*), das wegen (2 * 2) * 3 = 43 = 64 und 2 * (2 * 3) = 28 = 256 nicht assoziativ und wegen 2 * 3 = 8 und 3 * 2 = 9 nicht kommutativ ist. Wegen nn > n für alle n > 1 ist 1 das einzige idempotente Element von (N,*). Wegen 1 * m = 1 ist es gleichzeitig linksabsorbierend, wegen n * 1 = n ist es rechtsneutral, und es gibt keine weiteren (einseitig) absorbierende oder neutrale Elemente.