n-Halbgruppen und anti-inverse Halbgruppen

Es sei $(S,+)$ eine Halbgruppe, $n$ eine natürliche Zahl und $a$ aus $S$ . Ein Element $b$ aus $S$ heißt ein n-Element von $a$ , wenn gilt

(1)

a + nb + a = b

und

nb + a + nb = a

wobei $nb$ die $n$ -fache Summe von b in $(S,+)$ bezeichnet. Besitzt jedes $a$ in $S$ ein n-Element, so heißt die Halbgruppe $(S,+)$ ein $n$ -Halbgruppe. Im Falle $n = 1$ spricht man auch von einer anti-inversen Halbgruppe.

Ist $b$ ein n-Element von $a$ , so folgt

(2)

a + a = (n+1)b

wegen $a + a = a + nb + a + nb = b + nb = (n+1)b .

Weiterhin gilt
(3)$

nb + a = (2n+1)a + n

²b

wegen $nb + a = n(a + nb + a) + a = a + n(nb + a + a)
= a + n(nb + (n+1)b) = a + n((n+1)b + nb) = a + n(a+a) + n$ ²b = (2n+1)a + n²b.

Hieraus ergibt sich schließlich

(4)

(4n+1)a = a

wegen $a = nb + a + nb = (2n+1)a + n$ ²b + nb = (2n+1)a + n((n+1)b) = (2n+1)a + n(a+a).

In einer

n

-Halbgruppe

(S,+)

gilt also (4) für alle

a

S

. Insbesondere ist wegen

a + (4n-1)a + a = a

jede derartige Halbgruppe regulär.

In der von $a$ aus $S$ erzeugten zyklischen Halbgruppe $< a > = { na | n aus N}$ ist also $0$ _a = 4na neutrales Element und damit ist $< a>$ eine zyklische Gruppe, deren Ordnung ein Teiler von $4n$ ist.

Ist weiterhin $b$ aus $S$ ein $n$ -Element von $a$ , so liegt $a+a$ wegen (2) in $< b >$ und daher auch $0$ _a = 4na = 2n(a+a). In der zyklischen Gruppe $< b >$ stimmen daher die beiden idempotenten Elemente $0$ _a und $0$ _b überein.

Beispiele für n-Halbgruppen sind:

Jede idempotente Halbgruppe $(S,+)$ ist eine n-Halbgruppe für jede natürliche Zahl $n$ , denn wegen $a + a = a$ kann für jedes $a$ aus $S$ in (1) stets $b = a$ gewählt werden. Aus (2) ergibt sich weiterhin $a = a + a = (n+1)b = b$ , also die Eindeutigkeit des jeweiligen n-Elementes.

Ist $(S,+)$ eine Gruppe mit $a + a = 0$ für alle $a$ aus $S$ , so ist $(S,+)$ eine n-Halbgruppe für jede natürliche Zahl $n$ , denn in (1) kann dann stets $b = 0$ gewählt werden. Für ungerades $n$ ist außerdem $b = a$ ein n-Element von $a$ . Dies zeigt, daß auch für anti-inverse Halbgruppen n-Elemente nicht eindeutig bestimmt sein müssen. Beispiele der hier betrachteten Gruppen erhält man etwa als direkte Produkte der zyklischen Gruppe $(Z/(2),+)$ mit sich selbst. Für gerades $n$ folgt dagegen aus (2) bereits $0 = a + a = (n+1)b = b$ , also die Eindeutigkeit des jeweiligen n-Elementes.