n-Halbgruppen und anti-inverse Halbgruppen


Es sei (S,+) eine Halbgruppe, n eine natürliche Zahl und a aus S. Ein Element b aus S heißt ein n-Element von a, wenn gilt

(1)

a + nb + a = b und nb + a + nb = a,

wobei nb die n-fache Summe von b in (S,+) bezeichnet. Besitzt jedes a in S ein n-Element, so heißt die Halbgruppe (S,+) ein n-Halbgruppe. Im Falle n = 1 spricht man auch von einer anti-inversen Halbgruppe.

Ist b ein n-Element von a, so folgt

(2)

a + a = (n+1)b

wegen a + a = a + nb + a + nb = b + nb = (n+1)b.

Weiterhin gilt

(3)

nb + a = (2n+1)a + n2b

wegen nb + a = n(a + nb + a) + a = a + n(nb + a + a) = a + n(nb + (n+1)b) = a + n((n+1)b + nb) = a + n(a+a) + n2b = (2n+1)a + n2b.

Hieraus ergibt sich schließlich

(4)

(4n+1)a = a

wegen a = nb + a + nb = (2n+1)a + n2b + nb = (2n+1)a + n((n+1)b) = (2n+1)a + n(a+a).

In einer n-Halbgruppe (S,+) gilt also (4) für alle a in S. Insbesondere ist wegen a + (4n-1)a + a = a jede derartige Halbgruppe regulär.

In der von a aus S erzeugten zyklischen Halbgruppe < a > = { na | n aus N} ist also 0a = 4na neutrales Element und damit ist < a> eine zyklische Gruppe, deren Ordnung ein Teiler von 4n ist.

Ist weiterhin b aus S ein n-Element von a, so liegt a+a wegen (2) in < b > und daher auch 0a = 4na = 2n(a+a). In der zyklischen Gruppe < b > stimmen daher die beiden idempotenten Elemente 0a und 0b überein.


Beispiele für n-Halbgruppen sind:

  • Jede idempotente Halbgruppe (S,+) ist eine n-Halbgruppe für jede natürliche Zahl n, denn wegen a + a = a kann für jedes a aus S in (1) stets b = a gewählt werden. Aus (2) ergibt sich weiterhin a = a + a = (n+1)b = b, also die Eindeutigkeit des jeweiligen n-Elementes.

  • Ist (S,+) eine Gruppe mit a + a = 0 für alle a aus S, so ist (S,+) eine n-Halbgruppe für jede natürliche Zahl n, denn in (1) kann dann stets b = 0 gewählt werden. Für ungerades n ist außerdem b = a ein n-Element von a. Dies zeigt, daß auch für anti-inverse Halbgruppen n-Elemente nicht eindeutig bestimmt sein müssen. Beispiele der hier betrachteten Gruppen erhält man etwa als direkte Produkte der zyklischen Gruppe (Z/(2),+) mit sich selbst. Für gerades n folgt dagegen aus (2) bereits 0 = a + a = (n+1)b = b, also die Eindeutigkeit des jeweiligen n-Elementes.