Normierte Vektorräume

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $(R,+,*)$ der reellen oder dem Körper $(C,+,*)$ der komplexen Zahlen. Unter einer Norm auf $V$ versteht man eine Abbildung $|| || : V -> R$ mit den folgenden, für alle x, y aus $V$ und alle $r$ aus $R$ bzw. $C$ gültigen Eigenschaften:

(1)

||

o || = 0 und || x || > 0 für alle x /= o

(2)

|| r

x || = |r| || x ||

(3)

||

x + y || <= || x || + || y ||.

Man bezeichnet die Eigenschaft (1) als Definitheit, die Eigenschaft (2) als Homogenität und die Eigenschaft (3) als Dreiecksungleichung der Norm. Den Vektorraum $V$ zusammen mit der Norm $|| ||$ nennt man auch einen normierten (Vektor-)Raum. Dabei können auf demselben Vektorraum durchaus verschiedene Normen definiert werden.

Beispiele für normierte Vektorräme

Ist $< , >$ ein Skalarprodukt auf einem $R$ -Vektorraum $V$ , so wird durch

||

x || = (<x,x>)^1/2

für alle x aus $V$ eine Norm auf $V$ definiert.

Auf dem arithmetischen Vektorraum $R$ ⁿ bzw. $C$ ⁿ wird durch

|| (a

₁,...,a_n) || = max(|a₁|, ...,|a_n|)

eine Norm definiert, die Maximumsnorm.

Auf dem arithmetischen Vektorraum $R$ ⁿ bzw. $C$ ⁿ wird durch

|| (a

₁,...,a_n) || = |a₁| + ... + |a_n|

eine Norm definiert, die (Betrags-)Summennorm.