Normierte Vektorräume


Es sei V ein Vektorraum über dem Körper (R,+,*) der reellen oder dem Körper (C,+,*) der komplexen Zahlen. Unter einer Norm auf V versteht man eine Abbildung || || : V -> R mit den folgenden, für alle x, y aus V und alle r aus R bzw. C gültigen Eigenschaften:

(1)

|| o || = 0 und || x || > 0 für alle x /= o

(2)

|| rx || = |r| || x ||

(3)

|| x + y || <= || x || + || y ||.

Man bezeichnet die Eigenschaft (1) als Definitheit, die Eigenschaft (2) als Homogenität und die Eigenschaft (3) als Dreiecksungleichung der Norm. Den Vektorraum V zusammen mit der Norm || || nennt man auch einen normierten (Vektor-)Raum. Dabei können auf demselben Vektorraum durchaus verschiedene Normen definiert werden.


Beispiele für normierte Vektorräme

  • Ist < , > ein Skalarprodukt auf einem R-Vektorraum V, so wird durch

    || x || = (<x,x>)1/2

    für alle x aus V eine Norm auf V definiert.

  • Auf dem arithmetischen Vektorraum Rn bzw. Cn wird durch

    || (a1,...,an) || = max(|a1|, ...,|an|)

    eine Norm definiert, die Maximumsnorm.

  • Auf dem arithmetischen Vektorraum Rn bzw. Cn wird durch

    || (a1,...,an) || = |a1| + ... + |an|

    eine Norm definiert, die (Betrags-)Summennorm.