Konjugiertheit und Normalteiler

Zwei Elemente $x$ und $y$ einer Gruppe $(G,*)$ heißen konjugiert zueinander, wenn es einen inneren Automorphismus $f$_a von $(G,*)$ mit $f$_a(x)=y gibt. Entsprechend heißen zwei Untergruppen $(U,*)$ und $(V,*)$ von $(G,*)$ konjugiert zueinander, wenn $f$_a(U)=V für einen inneren Automorphismus $f$_a von $(G,*)$ gilt.

Eine Untergruppe $(U,*)$ von $(G,*)$ heißt Normalteiler von $(G,*)$, wenn $f$_a(U)=U für jeden inneren Automorphismus $f$_a von $(G,*)$ gilt.

Beispiele für Normalteiler

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler, denn die identische Abbildung ist der einzige innere Automorphismus.

In jeder Gruppe sind die trivialen Untergruppen Normalteiler und eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur diese trivialen Normalteiler hat. Nach dem Satz von Lagrange ist daher jede Gruppe von Primzahlordnung einfach.