Konjugiertheit und Normalteiler


Zwei Elemente x und y einer Gruppe (G,*) heißen konjugiert zueinander, wenn es einen inneren Automorphismus fa von (G,*) mit fa(x)=y gibt. Entsprechend heißen zwei Untergruppen (U,*) und (V,*) von (G,*) konjugiert zueinander, wenn fa(U)=V für einen inneren Automorphismus fa von (G,*) gilt.


Eine Untergruppe (U,*) von (G,*) heißt Normalteiler von (G,*), wenn fa(U)=U für jeden inneren Automorphismus fa von (G,*) gilt.


Beispiele für Normalteiler

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler, denn die identische Abbildung ist der einzige innere Automorphismus.

In jeder Gruppe sind die trivialen Untergruppen Normalteiler und eine Gruppe heißt einfach, wenn sie nur diese trivialen Normalteiler hat. Nach dem Satz von Lagrange ist daher jede Gruppe von Primzahlordnung einfach.