Adjunktion einer Null (eines absorbierenden Elementes)


Es sei (G,*) ein Gruppoid und H eine Menge, die aus den Elementen von G und einem weiteren Element 0, das also nicht in G enthalten sein soll, gebildet wird. Definiert man dann eine Multiplikation *' auf H durch

(1)  a*'b = a*b für alle a, b aus G und
(2)  a*'0 = 0*'a = 0 für alle a aus H,

so ist (H,*') ein Gruppoid, das (G,*) wegen (1) als Untergruppoid enthält, und in dem 0 wegen (2) absorbierendes Element ist. Offensichtlich ist (H,*') genau dann idempotent oder kommutativ, wenn (G,*) dieselbe Eigenschaft hat, und man bestätigt durch einfache Fallunterscheidungen, daß (H,*') genau dann eine Halbgruppe ist, wenn (G,*) eine Halbgruppe ist. Außerdem bleibt ein eventuelles neutrales Element von (G,*) ein neutrales Element von (H,*'), während ein absorbierendes Element von (G,*) diese Eigenschaft wegen (2) natürlich verliert. Daher führen die aufeinanderfolgenden Adjunktionen eines neutralen Elementes und eines absorbierenden Elementes zum selben Ergebnis, unabhängig von ihrer Reihenfolge.

Man schreibt dann auch wieder einfach * für die Multiplikation auf H und sagt, (H,*) sei durch Adjunktion einer Null oder durch Adjunktion eines absorbierenden Elementes aus (G,*) entstanden.


Handelt es sich bei (G,*) sogar um eine Gruppe, so nennt man (H,*) eine 0-Gruppe (Null-Gruppe). Diese ist dann natürlich selbst keine Gruppe mehr.

Beispiele solcher Nullgruppen sind die multiplikativen Gruppen (K,*) von Körpern (K,+,*).