Oktaven oder Oktonionen


Die Oktaven oder Oktonionen wurden 1843 erstmals in einem Brief von John Graves an William Rowen Hamilton beschrieben. Unabhängig davon wurden sie 1845 von Arthur Cayley konstruiert. Sie heißen deshalb auch Cayleysche oder hyperkomplexe Zahlen.

Sie können als achtdimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen mit der Basis {1,i,j,k,l,m,n,o} konstruiert werden, wobei die Addition der Vektoren komponentenweise erfolgt und die Multiplikation der Basiselemente durch die folgende Cayley-Tafel bestimmt ist. Zwei Summen von reellen Vielfachen der Basiselemente werden ganz normal mit den Distributivgesetzen ausmultipliziert.

*1ijklmno -1-i-j-k-l-m-n-o
11ijklmno -1-i-j-k-l-m-n-o
ii-1k-jm-l-on -i1-kj-mlo-n
jj-k-1ino-l-m -jk1-i-n-olm
kkj-i-1o-nm-l -k-ji1-on-ml
ll-m-n-o-1ijk -lmno1-i-j-k
mml-on-i-1-kj -m-lo-ni1k-j
nnol-m-jk-1-i -n-o-lmj-k1i
oo-nml-k-ji-1 -on-m-lkj-i1
-1-1-i-j-k-l-m-n-o 1ijklmno
-i-i1-kj-mlo-n i-1k-jm-l-on
-j-jk1-i-n-olm j-k-1ino-l-m
-k-k-ji1-on-ml kj-i-1o-nm-l
-l-lmno1-i-j-k l-m-n-o-1ijk
-m-m-lo-mi1k-j ml-om-i-1-kj
-n-n-o-lmj-k1i nol-m-jk-1-i
-o-on-m-lkj-i1 o-nml-k-ji-1

Da jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommt und 1 neutrales Element ist, wird hierdurch eine offensichtlich nicht kommutative Loop definiert. Wegen i * (l * k) = i * (-o) = -n und (i * l) * k = m * k = n ist diese nicht assoziativ, also eine echte Loop.

Man kann die Oktonionen auch als vierdimensionale Algebra über den komplexen Zahlen oder als zweidimensionale Algebra über den Quaternionen auffassen.