Orthogonale Abbildungen

Es sei $A : R$ ² -> R² eine orthogonale Abbildung und e₁, e₂ eine Orthonormalbasis von $R$ ². Gilt $det(A) = 1$ , so gibt es eine reelle Zahl $a$ , so daß gilt

A(

e₁) = cos(a)e₁ + sin(a)e₂ A(e₂) = -sin(a)e₁ + cos(a)e₂.

Man nennt $A$ eine Drehung mit dem (Dreh-)Zentrum o um den (Dreh-)Winkel $a$ . Speziell für $a = (2k+1)*pi$ spricht man von einer Punktspiegelung oder Inversion. Sie läßt sich auch durch $A($ x) = -x für alle x aus $R$ ² charakterisieren.

Gilt dagegen $det(A) = -1$ , so gibt es ein v₁ /= o aus $R$ ² (der Länge 1) und einen zu v₁ orthogonalen Vektor v₂ (der Länge 1), so daß gilt

(2)

A(

v₁) = v₁ A(v₂) = -v₂.

Man nennt $A$ eine Spiegelung an der Geraden $t$ v₁ ( $t$ aus $R$ ).

Es sei $A : R$ ³ -> R³ eine orthogonale Abbildung. Gilt $det(A) = 1$ , so gibt es ein v /= o aus $R$ ³ mit $A($ v) =v und eine reelle Zahl $a$ , so daß $A = D($ v,a) eine Drehung mit der (Dreh-)Achse $t$ v ( $t$ aus $R$ ) um den Winkel $a$ ist.

Gilt $det(A) = -1$ , so gilt $A = -D($ v,a) für eine geeignete Drehachse $t$ v und einen geeigneten Drehwinkel $a$ . Man nennt $A$ dann eine Drehinversion oder Drehspiegelung, denn bezeichnet $S($ v) die (Ebenen-)Spiegelung an der zu v orthogonalen Ebene durch den Nullpunkt, so gilt $A = S($ v) o D(v,a+pi) = D(v,a+pi) o S(v). Für $a = 2k*pi$ erhält man wieder die durch $A($ x) = -x für alle x aus $R$ ³ beschriebene reine Inversion.