Orthogonale Abbildungen


Es sei A : R2 -> R2 eine orthogonale Abbildung und e1, e2 eine Orthonormalbasis von R2. Gilt det(A) = 1, so gibt es eine reelle Zahl a, so daß gilt

(1)

A(e1) = cos(a)e1 + sin(a)e2
A(e2) = -sin(a)e1 + cos(a)e2.

Man nennt A eine Drehung mit dem (Dreh-)Zentrum o um den (Dreh-)Winkel a. Speziell für a = (2k+1)*pi spricht man von einer Punktspiegelung oder Inversion. Sie läßt sich auch durch A(x) = -x für alle x aus R2 charakterisieren.

Gilt dagegen det(A) = -1, so gibt es ein v1 /= o aus R2 (der Länge 1) und einen zu v1 orthogonalen Vektor v2 (der Länge 1), so daß gilt

(2)

A(v1) = v1
A(v2) = -v2.

Man nennt A eine Spiegelung an der Geraden tv1 (t aus R).


Es sei A : R3 -> R3 eine orthogonale Abbildung. Gilt det(A) = 1, so gibt es ein v /= o aus R3 mit A(v) =v und eine reelle Zahl a, so daß A = D(v,a) eine Drehung mit der (Dreh-)Achse tv (t aus R) um den Winkel a ist.

Gilt det(A) = -1, so gilt A = -D(v,a) für eine geeignete Drehachse tv und einen geeigneten Drehwinkel a. Man nennt A dann eine Drehinversion oder Drehspiegelung, denn bezeichnet S(v) die (Ebenen-)Spiegelung an der zu v orthogonalen Ebene durch den Nullpunkt, so gilt A = S(v) o D(v,a+pi) = D(v,a+pi) o S(v). Für a = 2k*pi erhält man wieder die durch A(x) = -x für alle x aus R3 beschriebene reine Inversion.