Orthoverbände


Ein Orthoverband (V,,,',o,e) ist eine Algebra mit zwei zweistelligen Operationen, der Infimumsbildung und der Supremumsbildung , einer einstelligen Operation, der Komplementbildung ' , und zwei ausgezeichneten Elementen o und e, in der folgende Axiome für alle a, b, c aus V erfüllt sind.

(1) Kommutativität der Infimumsbildung

a b = b a

(2) Kommutativität der Supremumsbildung

a b = b a

(3) Assoziativität der Infimumsbildung

(a b) c = a (b c)

(4) Assoziativität der Supremumsbildung

(a b) c = a (b c)

(5) Absorptionsgesetz

a (a b) = a

(6)

a' a = e

(7)

a' a = o

(8)

(a')' = a

(9)

a b = (a' b')'

(10)

a (b b') = b b'

Wegen (8) ist die Komplementbildung ' eine Involution, also insbesondere eine bijektive Abbildung auf V, und man darf daher in allen Axiomen jede Variable x mit x' vertauschen. Also ergibt sich aus (9) sofort a' b' = (a b)' und wegen (8) auch (a b)' = a' b', d. h. es gelten die De Morganschen Gesetze für diese drei Verknüpfungen.

Damit folgt aus (5) zunächst (a' (a' b'))' = (a')' = a und dann a (a b) = a, d. h. es gilt auch das andere Absorptionsgesetz. Daher ist (V,, ) tatsächlich ein Verband. Insbesondere sind beide zweistelligen Operationen idempotent. Setzt man in den Absorptionsgesetzen b = a', so folgt aus (6) und (7), daß e größtes Element und o kleinstes Element dieses Verbandes ist. Daher sind Orthoverbände spezielle komplementäre Verbände.

Weiterhin erhält man aus (10) zunächst a' (b b') = b b' und hieraus durch Komplementbildung unter Ausnutzung der Kommutativität a (b b') = b b'. Daher gilt in Orthoverbänden das Dualitätsprinzip, d. h. alle Aussagen bleiben richtig, wenn man die Supremumsbildung und die Infimumsbildung miteinander vertauscht und gleichzeitig o und e.

Aus (6), (1) und (7) folgt nun e' = (a' a)' = a a' = o und mit (8) auch o' = e. Da sich aus (10) und (6) a e = e und daher auch a' e = e ergibt, folgt a o = o und dual dazu a e = e. Dies ist aber ohnehin klar, da o kleinstes und e größtes Element des Orthoverbandes ist.