Schwache partielle Gruppoide, Halbgruppen und Halbverbände

Unter einem schwachen partiellen Gruppoid $(G,*)$ versteht man eine nichtleere Menge $G$ mit einer (partiellen) Abbildung $*\; :\; D$ G für eine Teilmenge $D$ von $G\; x\; G$. Liegt

(1) $(x,x)$ in $D$ für alle $x$ aus $G$ und gilt jeweils $x*x\; =\; x$,

so heißt $(G,*)$ idempotent. Gilt

(2) $(x,y)$ aus $D$ impliziert $(y,x)$ aus $D$ und $x*y\; =\; y*x$

für alle $x,\; y$ aus $G$, so heißt $(G,*)$ kommutativ. Gilt

(3) $(x,y),\; (y,z),\; (x*y,z)$ aus $D$ implizieren $(x,y*z)$ aus $D$ und $(x*y)*z\; =\; x*(y*z)$

für alle $x,\; y,\; z$ aus $G$, so heißt $(G,*)$ schwache partielle Halbgruppe. Eine idempotente und kommutative schwache partielle Halbgruppe nennt man einen schwachen partiellen Halbverband.

Ein Element $0$ aus $G$ heißt Nullelement, wenn für alle $x$ aus $G$ bereits $(0,x)$ und $(x,0)$ in $D$ liegen und $0*x\; =\; 0\; =\; x*0$ gilt. Ein Element $1$ aus $G$ heißt Einselement, wenn für alle $x$ aus $G$ bereits $(1,x)$ und $(x,1)$ in $D$ liegen und $1*x\; =\; x\; =\; x*1$ gilt.

Gilt (2), so ist (3) gleichwertig zu

(3') $(x,y),\; (y,z),\; (x,y*z)$ aus $D$ implizieren $(x*y,z)$ aus $D$ und $(x*y)*z\; =\; x*(y*z).$

Man hat nämlich $x*(y*z)\; =\; (y*z)*x\; =\; (z*y)*x\; =\; z*(y*x)\; =\; (y*x)*z\; =\; (x*y)*z$, wobei im dritten Schritt (3) und sonst immer (2) angewandt wurde. Also folgt (3') mit (2) aus (3). Die Umkehrung ergibt sich dual hierzu.

Ist $(G,*)$ ein schwacher partieller Halbverband und definiert man

(4) $x$ y genau dann, wenn $(x,y)$ aus $D$ ist und $x*y\; =\; x$ gilt,

so ist $(G,$) eine partiell geordnete Menge, in der genau die Paare $(x,y)$ aus $D$ ein Infimum besitzen. Dieses ist dann $x*y$. Besitzt $(G,*)$ eine Nullelement [Einselement], so ist dieses kleinstes [größtes] Element von $(G,$).

Offensichtlich ist (1) gleichwertig damit, daß die in (4) definierte Relation $$ reflexiv ist. Weiterhin folgt aus $x$ y und $y$ x mit (2) $x\; =\; x*y\; =\; y*x\; =\; y$, also die Antisymmetrie. Schließlich implizieren $x$ y und $y$ z die Existenz der Produkte $x*y\; =\; x,\; y*z\; =\; y$ und damit nach (3) auch $x\; =\; x*y\; =\; x*(y*z)\; =\; (x*y)*z\; =\; x*z$, also $x$ z, d. h. die Transitivität. Daher ist $(G,$) eine partiell geordnete Menge. Für $(x,y)$ aus $D$ gilt wegen (1) und (3) auch $x*y\; =\; x*(y*y)\; =\; (x*y)*y$, also nach (4) $x*y$ y und mit (1) - (3) erhält man $x*y\; =\; (x*x)*y\; =\; x*(x*y)\; =\; (x*y)*x$, also nach (4) auch $x*y$ x. Daher ist $x*y$ gemeinsame untere Schranke von $x$ und $y$. Gilt für ein $z$ aus $G$ ebenfalls $z$ x und $z$ y, so existieren die Produkte $z*x=\; z$ und $z*y\; =\; z$und daher nach (3) auch $z\; =\; z*y\; =\; (z*x)*y\; =\; z*(x*y)$, d h. $z$ x*y. Daher ist $x*y\; =\; inf\{x,y\}.$

Ein schwach partieller Halbverband $(G,*)$ heißt (unterer) Fasthalbverband, wenn für alle $z$ aus $G$ gilt

(5) $(x,z)$ und $(y,z)$ aus $D$ und $z=x*z\; =\; y*z$ implizieren $(x,y)$ aus $D.$

Mit den oben für $x*y$ bewiesenen Eigenschaften besagt (5) gerade, daß zu je zwei nach unten beschränkten Elementen $x,y$ aus $(G,$) das Infimum $x*y$ existiert.

Ein partielles Gruppoid ist ein schwaches partielles Gruppoid $(G,*)$ zu dem ein Gruppoid $(H,*)$ existiert, so daß $G$ eine Teilmenge von $H$ ist und für $x,y$ aus $G$ das Paar $(x,y)$ genau dann in $D$ liegt, wenn das in $(H,*)$ existierende Produkt $x*y$ bereits in $G$ liegt. Man nennt dann $(G,*)$ auch ein relatives Untergruppoid von $(H,*)$. Handelt es sich bei $(H,*)$ sogar um eine Halbgruppe (einen Halbverband), so nennt man $(G,*)$ eine partielle Halbgruppe bzw. einen partiellen Halbverband.