Schwache partielle Gruppoide, Halbgruppen und Halbverbände


Unter einem schwachen partiellen Gruppoid (G,*) versteht man eine nichtleere Menge G mit einer (partiellen) Abbildung * : D G für eine Teilmenge D von G x G. Liegt

(1) (x,x) in D für alle x aus G und gilt jeweils x*x = x,

so heißt (G,*) idempotent. Gilt

(2) (x,y) aus D impliziert (y,x) aus D und x*y = y*x

für alle x, y aus G, so heißt (G,*) kommutativ. Gilt

(3) (x,y), (y,z), (x*y,z) aus D implizieren (x,y*z) aus D und (x*y)*z = x*(y*z)

für alle x, y, z aus G, so heißt (G,*) schwache partielle Halbgruppe. Eine idempotente und kommutative schwache partielle Halbgruppe nennt man einen schwachen partiellen Halbverband.

Ein Element 0 aus G heißt Nullelement, wenn für alle x aus G bereits (0,x) und (x,0) in D liegen und 0*x = 0 = x*0 gilt. Ein Element 1 aus G heißt Einselement, wenn für alle x aus G bereits (1,x) und (x,1) in D liegen und 1*x = x = x*1 gilt.


Gilt (2), so ist (3) gleichwertig zu

(3') (x,y), (y,z), (x,y*z) aus D implizieren (x*y,z) aus D und (x*y)*z = x*(y*z).

Man hat nämlich x*(y*z) = (y*z)*x = (z*y)*x = z*(y*x) = (y*x)*z = (x*y)*z, wobei im dritten Schritt (3) und sonst immer (2) angewandt wurde. Also folgt (3') mit (2) aus (3). Die Umkehrung ergibt sich dual hierzu.


Ist (G,*) ein schwacher partieller Halbverband und definiert man

(4) x y genau dann, wenn (x,y) aus D ist und x*y = x gilt,

so ist (G,) eine partiell geordnete Menge, in der genau die Paare (x,y) aus D ein Infimum besitzen. Dieses ist dann x*y. Besitzt (G,*) eine Nullelement [Einselement], so ist dieses kleinstes [größtes] Element von (G,).

Offensichtlich ist (1) gleichwertig damit, daß die in (4) definierte Relation reflexiv ist. Weiterhin folgt aus x y und y x mit (2) x = x*y = y*x = y, also die Antisymmetrie. Schließlich implizieren x y und y z die Existenz der Produkte x*y = x, y*z = y und damit nach (3) auch x = x*y = x*(y*z) = (x*y)*z = x*z, also x z, d. h. die Transitivität. Daher ist (G,) eine partiell geordnete Menge. Für (x,y) aus D gilt wegen (1) und (3) auch x*y = x*(y*y) = (x*y)*y, also nach (4) x*y y und mit (1) - (3) erhält man x*y = (x*x)*y = x*(x*y) = (x*y)*x, also nach (4) auch x*y x. Daher ist x*y gemeinsame untere Schranke von x und y. Gilt für ein z aus G ebenfalls z x und z y, so existieren die Produkte z*x= z und z*y = zund daher nach (3) auch z = z*y = (z*x)*y = z*(x*y), d h. z x*y. Daher ist x*y = inf{x,y}.


Ein schwach partieller Halbverband (G,*) heißt (unterer) Fasthalbverband, wenn für alle z aus G gilt

(5) (x,z) und (y,z) aus D und z=x*z = y*z implizieren (x,y) aus D.

Mit den oben für x*y bewiesenen Eigenschaften besagt (5) gerade, daß zu je zwei nach unten beschränkten Elementen x,y aus (G,) das Infimum x*y existiert.


Ein partielles Gruppoid ist ein schwaches partielles Gruppoid (G,*) zu dem ein Gruppoid (H,*) existiert, so daß G eine Teilmenge von H ist und für x,y aus G das Paar (x,y) genau dann in D liegt, wenn das in (H,*) existierende Produkt x*y bereits in G liegt. Man nennt dann (G,*) auch ein relatives Untergruppoid von (H,*). Handelt es sich bei (H,*) sogar um eine Halbgruppe (einen Halbverband), so nennt man (G,*) eine partielle Halbgruppe bzw. einen partiellen Halbverband.