Quasigruppen und Loops

Eine Quasigruppe ist ein Gruppoid $(G,*)$ , in dem für alle $a, b$ aus $G$ die Gleichungen

(1)

a * x = b

und

(2)

y * a = b

genau eine Lösung $x$ bzw. $y$ aus $G$ besitzen. Dies ist offensichtlich genau dann der Fall, wenn für jedes $a$ aus $G$ die Linkstranslation $l$ _a : G -> G mit $l$ _a(x) = a * x und die Rechtstranslation $r$ _a : G -> G mit $r$ _a(x) = x * a, jeweils für alle $x$ aus $G$ , eine Permutation von $G$ ist. Insbesondere folgt die Kürzbarkeit von $(G,*)$ , d. h. aus $a * x = a* y$ bzw. aus $x * a = y * a$ folgt jeweils $x = y$ für alle $a, x, y$ aus $G$ .

Sind in einem Gruppoid $(G,*)$ wenigstens sämtliche Linkstranslationen [Rechtstranslationen] bijektiv, so spricht man von einer Linksquasigruppe [Rechtsquasigruppe].

Gilt in einer Quasigruppe $(G,*)$ auch das Assoziativgesetz, also

(3)

(a * b) * c = a * (b * c)

für alle $a, b, c$ aus $G$ , so heißt sie eine Gruppe. In einer Gruppe $(G,*)$ gibt es stets ein (eindeutig bestimmtes) neutrales Element $e$ , welches also

(4)

e * a = a = a * e

für alle $a$ aus $G$ erfüllt. Dies läßt sich aus (1) und (2) mit Hilfe des Assoziativgesetzes nachweisen. In einer echten (d. h. nicht-assoziativen) Quasigruppe muß es ein solches Element jedoch nicht geben, wie Beispiele von dreielementigen Quasigruppen zeigen. Ist aber ein neutrales Element in $(G,*)$ vorhanden, so nennt man die Quasigruppe eine Loop. Durch einfache Betrachtung der möglichen Verknüpfungen für eine Menge $G$ mit 1 - 4 Elementen kann man zeigen, daß jede Loop mit weniger als fünf Elementen bereits eine Gruppe ist. Die kleinste echte Loop besteht also aus fünf Elementen. Eine echte Loop mit 16 Elementen tritt bei der Definition der Multiplikation der Basiselemente der Oktionen auf. Weitere echte Loops kleiner Ordnung finden sich hier.

Existiert in einer Quasigruppe wenigstens ein linksneutrales Element, so spricht man auch von einer Linksloop, und entsprechend von einer Rechtsloop, falls ein rechtsneutrales Element existiert. Echte Beispiele hierfür findet man schon unter den dreielementigen Quasigruppen.

Satz: Ist $e$ idempotentes und linkskürzbares Element eines Gruppoids $(G,*)$ und gilt $e * a = e$ für ein $a$ aus $G$ , so stimmen $a$ und $e$ bereits überein.

Beweis: Wegen $e * a = e = e * e$ folgt die Behauptung aus der Linkskürzbarkeit.

Das einseitig neutrale Element einer Linksloop [Rechtsloop] ist also das einzige idempotente Element. Insbesondere besitzt jede Unterloop einer Loop dasselbe neutrale Element wie die Loop.

In einer Quasigruppe $(G,*)$ kann man zwei weitere binäre Verknüpfungen, die Parastrophien \ (Linksdivision) und / (Rechtsdivision) auf die folgende Weise definieren. Für $a$ und $b$ aus $G$ bezeichne $a \ b$ die eindeutig bestimmte Lösung $x$ von (1) und $b / a$ die eindeutig bestimmte Lösung $y$ von (2). Dann gelten in der Algebra $(G,*,\, /)$ offensichtlich die folgenden Axiome

(5)

a * (a \ b) = b,

(6)

(a / b) * b = a,

(7)

a \ (a * b) = b,

(8)

(a * b) / b = a.

Dabei beschreiben (5) und (6) genau die Lösbarkeit der Gleichungen (1) und (2), während (7) und (8) die Eindeutigkeit dieser Lösungen charakterisieren. Also kann man Quasigruppen auch als Algebren $(G,*,\, /)$ mit drei zweistelligen Verknüpfungen definieren, in denen die Gleichungen (5) - (8) für alle $a, b, c$ aus $G$ gelten.

Ist $(G,*)$ eine Gruppe und bezeichnet $a$ ^-1 für $a$ aus $G$ jeweils das eindeutig bestimmte Inverse zu $a$ , so gilt $a \ b = a$ ^-1 * b und $b / a = b * a$ ^-1.

Für eine kommutative Quasigruppe sind die Gleichungen (1) und (2) natürlich gleichwertig und die beiden Verknüpfungen \ und / fallen zusammen.

Eine Quasigruppe $(Q,*)$ erfüllt die Moufang-Identität, wenn

(9)

(a * b) * (c * a) = (a * (b * c)) * a

für alle $a,b,c$ aus $Q$ gelten.

In diesem Fall handelt es sich bei $(Q,*)$ um eine Loop. Ist nämlich $b$ ein beliebiges Element aus $Q$ , so existiert ein $e$ aus $Q$ mit $b * e = b$ und dann ein $c$ aus $Q$ mit $c * e = e.$ Für jedes $a$ in $Q$ folgt dann mit (9) $(a * b) * a = (a * (b * e)) * a = (a * b) * (e * a)$ und aus der Linkskürzbarkeit in der Quasigruppe daher $a = e * a$ , d. h. $e$ ist linksneutral. Weiterhin gilt $(a * c) * e = (e * (a * c)) * e =
(e * a) * (c * e) = a * e$ und die Rechtskürzbarkeit liefert $a * c = a$ , d. h. $c$ ist rechtsneutral. Wie in jedem Gruppoid stimmen aber das linksneutrale Element $e$ und das rechtsneutrale Element $c$ wegen $e = e * c = c$ überein. Also besitzt die Quasigruppe $(Q,*)$ ein neutrales Element. Daher werden derartige Quasigruppen auch Moufang-Loops genannt. Sie lassen sich noch durch andere, zu (9) äquivalente Gleichungen beschreiben.

Weiterführende Literatur

Stanley Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Springer, Berlin, 1981. ISBN 3-540-90578-2