Quasigruppen der Ordnung 3

Auf einer dreielementigen Menge, etwa $G\; =\; \{a,\; b,\; c\}$ lassen sich die folgenden fünf Verknüpfungen durch ihre jeweiligen Cayley-Tafeln definieren. Jede von ihnen liefert offensichtlich eine Quasigruppe, denn jedes Element kommt in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor. Außerdem sind alle diese Quasigruppen nicht isomorph untereinander, wie die jeweils angegebenen Eigenschaften sofort zeigen.

Andererseits kann man leicht zeigen, daß es nur prinzipiell 12 verschiedenen Verknüpfungstafeln mit diesen drei Elementen geben kann, so daß jede Zeile und jede Spalte eine Permutation der drei Elemente ist. Von diesen 12 Quasigruppen ist jede zu genau einer der angegebenen fünf isomorph. Daher gibt es bis auf Isomorphie genau diese fünf Quasigruppen der Ordnung 3.

Es handelt sich um die zyklische (also kommutative) Gruppe der Ordnung 3. Sie enthät damit genau ein idempotentes Element, nämlich $a$. Es ist die einzige assoziative Quasigruppe der Ordnung 3.

Diese Quasigruppe ist nicht kommutativ und hat ein Linkseinselement $a$, das kein Rechtseinselement ist. Es handelt sich um die kleinste echte Linksloop. Sie ist unipotent und hat daher genau ein idempotentes Element, das aber kein Einselement ist. Diese Quasigruppe ist das kleinste Beispiel für eine rechtsseitige Bol-Quasigruppe, die keine linksseitige Bol-Quasigruppe ist.

Diese Quasigruppe ist dual zu der vorherigen und daher ebenfalls nicht kommutativ. Sie hat ein Rechtseinselement $a$, das kein Linkseinselement ist. Es handelt sich um die kleinste echte Rechtsloop. Sie ist unipotent und hat daher genau ein idempotentes Element, das aber kein Einselement ist. Diese Quasigruppe ist das kleinste Beispiel für eine linksseitige Bol-Quasigruppe, die keine rechtsseitige Bol-Quasigruppe ist.

Diese Quasigruppe ist idempotent und kommutativ. Sie entsteht aus dem einzigen Steinerschen Tripel-System auf $A\; =\; \{\; a,\; b,\; c\; \}.$ Es handelt sich also um die kleinste echte Steiner-Quasigruppe. Die zugehörige Steiner-Loop ist die Kleinsche Vierergruppe, also keine echte Loop. Dieses Beispiel wurde bereits 1887 von E. Schröder¹⁾ als Beispiel für ein distributives, nicht assoziatives Gruppoid veröffentlicht.

Diese Quasigruppe ist kommutativ und enthält kein idempotentes Element, ist also auch nicht unipotent.

¹⁾ E. Schröder, Über Algorithmen und Calculi, Archiv der Mathematik und Physik 5 (1887), 225 - 278.