Quasiringe und Quasikörper


Ein (rechtsseitiger) Quasiring1) (Q,+,*) besteht aus einer abelschen Gruppe (Q,+) mit dem Nullelement o und einem Gruppoid (Q,*) mit Einselement, so daß das rechtsseitige Distributivgesetz (a + b)*c = a*c + b*c für alle a,b,c aus Q erfüllt ist. Wie bei Ringen verabredet man hierbei, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Dual dazu werden linksseitige Quasiringe definiert. Sind beide Distributivgesetze erfüllt, so nennt man (Q,+,*) einen distributiven Quasiring. Dies ist insbesondere für kommutative Quasiringe der Fall. Quasiringe sind also eine Verallgemeinerung von abelschen Fastringen mit Einselement, bei denen auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet wird.

Ein Quasiring heißt regulär, wenn alle Gleichungen der Form a*x = b und y*a = b für beliebige b und a\= o aus Q höchstens eine Lösung in Q besitzen, er heißt ein Quasikörper, wenn alle diese Gleichungen genau eine Lösung haben.

Besitzen in einem Quasikörper (Q,+,*) auch die Gleichungen x*a + x*b = c für alle a,b,c aus Q mit a + b \= o eindeutige Lösungen x aus Q, so heißt (Q,+,*) ein planarer Quasikörper.

Speziell die planaren Quasikörper treten in der Geometrie bei der Einführung von Koordinaten in Translationsebenen auf.


1) Peter Plaumann, Karl Strambach, Zusammenhängende Quasikörper mit Zentrum, Archiv der Mathematik 21 (1970), 455 - 465.
2) Peter Plaumann, Karl Strambach, Zur Existenz von Quasikörpern, Journal of Algebra 37 (1975), 377 - 394.
3) Emanuel Sperner, Zur Geometrie der Quasimoduln, Istituto Nazionale die Alta Matematica Symposia Mathematica Vol. V (1970), 421 - 438. (Dort werden linksdistributive planare Quasikörper mit etwas schwächeren Forderungen bezüglich der Lösbarkeit der Gleichungen definiert, allerdings als rechtsdistributive Quasikörper bezeichnet (S. 427, (2)).