Quasiringe und Quasikörper

Ein (rechtsseitiger) Quasiring¹⁾ $(Q,+,*)$ besteht aus einer abelschen Gruppe $(Q,+)$ mit dem Nullelement $o$ und einem Gruppoid $(Q,*)$ mit Einselement, so daß das rechtsseitige Distributivgesetz $(a\; +\; b)*c\; =\; a*c\; +\; b*c$ für alle $a,b,c$ aus $Q$ erfüllt ist. Wie bei Ringen verabredet man hierbei, daß die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Dual dazu werden linksseitige Quasiringe definiert. Sind beide Distributivgesetze erf&uul;llt, so nennt man $(Q,+,*)$ einen distributiven Quasiring. Dies ist insbesondere f&ür kommutative Quasiringe der Fall. Quasiringe sind also eine Verallgemeinerung von abelschen Fastringen mit Einselement, bei denen auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet wird.

Ein Quasiring heißt regulär, wenn alle Gleichungen der Form $a*x\; =\; b$ und $y*a\; =\; b$ für beliebige $b$ und $a\backslash =\; o$ aus $Q$ höchstens eine Lösung in $Q$ besitzen, er heißt ein Quasikörper, wenn alle diese Gleichungen genau eine Lösung haben.

Besitzen in einem Quasikörper $(Q,+,*)$ auch die Gleichungen $x*a\; +\; x*b\; =\; c$ für alle $a,b,c$ aus $Q$ mit $a\; +\; b\; \backslash =\; o$ eindeutige Lösungen $x$ aus $Q$, so heißt $(Q,+,*)$ ein planarer Quasikörper.