Rechtseinfache Gruppoide, Rechtsgruppen

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt rechtseinfach, wenn

(r)

für alle $a$ aus $G$ gilt. Dies ist gleichbedeutend damit, daß alle Linkstranslationen von $(G,*)$ surjektiv sind und daher alle Gleichungen der Form $a*x\; =\; b$ (wenigstens) eine Lösung in $G$ besitzen. Außerdem ist $G$ dann offensichtlich das einzige Rechtsideal von $(G,*)$ und somit auch das einzige Ideal. Daher ist $(G,*)$ idealeinfach. Entsprechende Aussagen gelten für die links-rechts-dual definierten linkseinfachen Gruppoide.

Man sieht leicht ein, daß für beliebig viele rechtseinfache Gruppoide $G$_i das direkte Produkt $G\; =\; X\; G$_i ebenfalls ein rechtseinfaches Gruppoid ist.

Ist $e$ idempotentes und linksalternatives Element eines rechtseinfachen Gruppoids $(G,*)$, dann ist $e$ Linkseinselement von $(G,*)$. Zu $a$ aus $G$ existiert nälich ein $x$ aus $G$ mit $e\; *\; x\; =\; a.$ Es folgt $e\; *\; a\; =\; e\; *\; (e\; *\; x)\; =\; (e\; *\; e)\; *\; x\; =\; e\; *\; x\; =\; a.$

Unter einer Rechtsgruppe versteht man eine rechtseinfache und linkskürzbare Halbgruppe. Beispiele hierfür sind natürlich alle Gruppen, aber auch alle Rechtszerohalbgruppen, denn diese sind linkskürzbar und wegen $a*b\; =\; b$ für alle $a,\; b$ aus $G$ offensichtlich auch rechtseinfach.

Ist $G$_i Rechtsgruppe für jeden Index $i$, so ist auch das direkte Produkt $G\; =\; X\; G$_i eine Rechtsgruppe, denn mit jedem $G$_i ist auch $G$ linkskürzbar.

Struktursatz für Rechtsgruppen: Für jede Halbgruppe $(S,*)$ sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(1) $(S,*)$ ist eine Rechtsgruppe.

(2) Für alle $a$ aus $S$ enthält $S*a$ ein Linkseinselement $l\; =\; l(a)$ von $(S,*)$.

(3) $(S,*)$ ist linkskürzbar und regulär.

(4) Für alle $a$ aus $S$ enthält $a*S$ ein Linkseinselement $l\; =\; l(a)$ von $(S,*)$.

(5) $(S,*)$ ist rechtseinfach und enthält ein idempotentes Element.

(6) $(S,*)$ ist isomorph zum direkten Produkt $(G,*)\; x\; (E,*)$ für eine (geeignete) Gruppe $(G,*)$ und eine Rechtszerohalbgruppe $(E,*)$.

Beweis: Zunächst wird in einem Ringschluß nachgerechnet, daß die Bedingungen (2) - (5) untereinander gleichwertig sind.

Aus (2) folgt (3): Zum Nachweis der Linkskürzbarkeit gelte $a*x\; =\; a*y$ und $l\; =\; s*a$ sei ein Linkseinselement aus $S*a$. Dann gilt jedenfalls auch $s*a*x\; =\; s*a*y$, also bereits $x\; =\; y$. Für ein beliebiges $a$ aus $S$ sei wiederum $l\; =\; s*a$ ein Linkseinselement aus $S*a$. Dann gilt $s*a*s*a\; =\; s*a$ und wegen der gerade gezeigten Linkskürzbarkeit schon $a*s*a\; =\; a$, d. h. $(S,*)$ ist regulär.

Aus (3) folgt (4): Für jedes $a$ aus $S$ folgt aus $a*x*a\; =\; a$ die Idempotenz von $l\; =\; a*x$ aus $a*S$. Ein idempotentes und linkskürzbares Element ist aber ein Linkseinselement.

Aus (4) folgt (5): Sei $a$ aus $S$ und $l\; =\; a*s$ ein Linkseinselement aus $a*S$. Dieses ist natürlich idempotent. Außerdem umfaßt $a*S$ die Menge $a*s*S\; =\; l*S\; =\; S$, d h. es gilt $a*S\; =\; S$. Damit ist $(S,*)$ aber rechtseinfach.

Aus (5) folgt (2): Sei $e$ idempotentes Element, also nach der oben gestellten Aufgabe ein Linkseinselement, und $a$ aus $S$ beliebig. Wegen der Rechtseinfachheit gibt es ein $x$ aus $S$ mit $a*x\; =\; e$. Dann liegt $l\; =\; x*a$ jedenfalls in $S*a$ und ist wegen $l*l\; =\; x*a*x*a\; =\; x*e*a\; =\; x*a\; =\; l$ idempotent und damit ebenfalls ein Linkseinselement.

Aus (5) und (3) ergibt sich aber (1) per Definition, und um (5) aus (1) zu folgern, ist nur die Existenz eines idempotenten Elementes nachzuweisen. Ist aber $a$ aus $G$ beliebig, so folgt aus der Rechtseinfachheit die Existenz eines $x$ aus $S$ mit $a*x\; =\; a$ und damit $a*x*x\; =\; a*x$. Die Linkskürzbarkeit zeigt nun die Idempotenz von $x$.

Damit sind die Bedingungen (1) - (5) untereinander äquivalent und (1) folgt aus (6) nach der vor dem Satz gemachten Bemerkung und den genannten Beispielen. Es ist also nur noch (6) nachzuweisen, wenn alle in (1) - (5) genannten Bedingungen erfüllt sind.

Dazu betrachtet man die Teilmenge $E\; =\; E(S)$ von $S$, die aus allen idempotenten Elementen von $(S,*)$ besteht. Diese ist nach (5) nicht leer und besteht nach der oben gestellten Aufgabe genau aus den Linkseinselementen von $(S,*)$. Sie ist damit offensichtlich eine Unterhalbgruppe von $(S,*)$, die eine Rechtszerohalbgruppe ist. Für ein festes $e$ aus $E$ sei $G\; =\; S*e$. Zu zeigen bleibt, daß $(G,*)$ Untergruppe von $(S,*)$ ist und $(S,*)$ direktes Produkt von $(G,*)$ und $(E,*)$.

Zunächst einmal ist $S*e$ Linksideal von $(S,*)$ mit $e$ als zweiseitigem Einselement, d. h. $(G,*)$ ist Unterhalbgruppe von $(S,*)$ mit einem Einselement. Für jedes $g\; =\; s*e$ aus $G$ existiert wegen der Rechtseinfachheit aber ein $x$ aus $S$ mit $s*e*x\; =\; e$. Damit gilt $s*e*x*e\; =\; e*e\; =\; e$, also hat $g$ das Rechtsinverse $g\text{'}\; =\; x*e$ in $(G,*)$. Daher ist $(G,*)$ bereits eine Gruppe.

Sei nun $a$ aus $S$ beliebig. Dann existiert wegen der Rechtseinfachheit ein $x$ aus $S$ mit $a\; =\; a*e*x$ und dieses $x$ ist wegen der Linkskürzbarkeit sogar eindeutig bestimmt. Wenn jetzt noch gezeigt wird, daß $x$ sogar stets in $E$ liegt, dann hat jedes $a$ aus $S$ eine eindeutige Zerlegung der Form $a\; =\; g*x$ mit $g\; =\; a*e$ aus $G$ und $x$ aus $E$, ist also isomorph zum direkten Produkt $(G,*)\; x\; (E,*)$.

Mit $g\; =\; a*e$ folgt aus $a\; =\; a*e*x\; =\; g*x$ aber $g-1*a\; =\; g-1*g*x\; =\; e*x\; =\; x$ und daher $x*x\; =\; g-1*a*g-1*a\; =\; g-1*a*e*g-1*a\; =\; g-1*a\; =\; x$, d. h. $x$ liegt tatsächlich in $E$.

Wählt man in dem obigen Beweis statt $e$ ein anderes Element $f$ aus $E$, so sind $S*f$ und $S*e$ isomorphe Gruppen. Außerdem ist $(E,*)$ als Rechtszerohalbgruppe allein durch die Ordnung $|\; E\; |$ schon eindeutig bestimmt. Daher bestimmen die Gruppe $(G,*)$ und die Mächtigkeit $|\; E\; |$ die Rechtsgruppe $(G,*)\; x\; (E,*)$ bereits eindeutig bis auf Isomorphie.