Rees-Kongruenzen

Ist $I$ Ideal eines Gruppoids $(G,*)$, so wird durch

(1)  $r$_I = i_G I x I = { (a,b) aus G x G | a = b oder a,b aus I }

eine Relation auf $G$ definiert, die offensichtlich eine Äquivalenzrelation ist, da die Klassen einelementig sind oder aus der Teilmenge $I$ von $G$ bestehen. (Dies ist übrigens schon für eine beliebige, nichtleere Teilmenge $I$ von $G$ der Fall.)

Nun ist $r$_I genau dann eine Kongruenzrelation auf $(G,*)$, wenn die Multiplikation eines beliebigen, nichtidentischen Paares $(a,b)$ aus $I\; x\; I$ mit einem Element $c$ aus $G$ von links und von rechts stets wieder Paare $(c*a,c*b)$ und $(a*c,b*c)$ aus $I\; x\; I$ liefert, denn die Multiplikation eines identischen Paares $(a,a)$ liefert natürlich wieder ein identisches Paar $(c*a,c*a)$ bzw. $(a*c,a*c)$. Die genannte Bedingung ist aber genau dann erfüllt, wenn $I$ ein Ideal von $(G,*)$ ist.

Man bezeichnet jede derartige Kongruenz $r$_I als eine Rees-Kongruenz¹⁾ und das Faktorgruppoid $G/r$_I als Rees-Faktorgruppoid von $(G,*)$.

Da jedes nichttriviale Ideal von $(G,*)$ eine nichttriviale Rees-Kongruenz von $(G,*)$ liefert, muß jedes einfache Gruppoid bereits ideal-einfach sein.