Rees-Kongruenzen


Ist I Ideal eines Gruppoids (G,*), so wird durch

(1)   rI = iG I x I = { (a,b) aus G x G | a = b oder a,b aus I }

eine Relation auf G definiert, die offensichtlich eine Äquivalenzrelation ist, da die Klassen einelementig sind oder aus der Teilmenge I von G bestehen. (Dies ist übrigens schon für eine beliebige, nichtleere Teilmenge I von G der Fall.)


Nun ist rI genau dann eine Kongruenzrelation auf (G,*), wenn die Multiplikation eines beliebigen, nichtidentischen Paares (a,b) aus I x I mit einem Element c aus G von links und von rechts stets wieder Paare (c*a,c*b) und (a*c,b*c) aus I x I liefert, denn die Multiplikation eines identischen Paares (a,a) liefert natürlich wieder ein identisches Paar (c*a,c*a) bzw. (a*c,a*c). Die genannte Bedingung ist aber genau dann erfüllt, wenn I ein Ideal von (G,*) ist.

Man bezeichnet jede derartige Kongruenz rI als eine Rees-Kongruenz1) und das Faktorgruppoid G/rI als Rees-Faktorgruppoid von (G,*).


Da jedes nichttriviale Ideal von (G,*) eine nichttriviale Rees-Kongruenz von (G,*) liefert, muß jedes einfache Gruppoid bereits ideal-einfach sein.


1) D. Rees, On semi-groups, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (1940), 387 - 400.