Reguläre Halbgruppen


Ein Element a einer Halbgruppe (S,*) heißt regulär1), wenn ein x aus S mit

(1)

a*x*a = a

existiert, wenn also a in a*S*a enthalten ist. In diesem Fall sind dann offensichtlich e = a*x und f = x*a idempotente Elemente und daher ist E(S) = { e aus S | e*e = e } nicht leer und jedes idempotente Element ist offensichtlich selbst regulär. Außerdem folgt aus a = e*a = a*f, daß a in S*a und a*S enthalten ist, daß also diese Mengen bereits das von a erzeugte Linkshaupt- bzw. Rechtshauptideal sind.

Für jedes Element a einer Halbgruppe (S,*) sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(i) a ist regulär.

(ii) Das von a erzeugte Linkshauptideal wird auch von einem idempotenten Element erzeugt.

(iii) Das von a erzeugte Rechtshauptideal wird auch von einem idempotenten Element erzeugt.

Zum Beweis genügt es, die Gleichwertigkeit von (i) und (ii) zu beweisen, da (iii) die zu (ii) links-rechts-duale Aussage ist und (i) offensichtlich selbstdual.

(i) => (ii): Wie oben gezeigt, ist S*a das von a erzeugte Linkshauptideal und f = x*a idempotentes Element aus S*a. Daher ist das von f erzeugte Linkshauptideal S*f jedenfalls in S*a enthalten. Andererseits ist a = a*x*a = a*f aber auch in S*f enthalten und damit schon in S*a, d. h. diese beiden Linkshauptideale stimmen überein.

(ii) => (i): Gilt { a } S*a = { f } S*f = S*f für ein idempotentes und daher reguläres Element f, so gibt es ein s mit a = s*f und daher a*f = s*f*f = s*f = a. Für f = a ist a regulär, sonst ist aber f in S*a enthalten und es gilt f = x*a für ein x aus S. Daraus folgt dann a = a*f = a*x*a, also (1).


Aus (1) folgt, daß auch x' = x*a*x wegen a*x'*a = a*x*a*x*a = a*x*a = a nicht nur ebenfalls (1), sondern auch

(1')

x'*a*x' = x'.

erfüllt. Daher kann man die Regularität eines Elementes a auch durch die Existenz eines Elementes x' aus S mit

(2)

a*x'*a = a und x'*a*x' = x'

definieren. Man nennt dann x' auch ein Inverses von a und bezeichnet mit V(a) die Menge aller Inversen von a.


Eine Halbgruppe (S,*) heißt regulär, wenn jedes Element a aus S regulär ist, wenn also stets V(a) nicht leer ist.

Man nennt eine reguläre Halbgruppe (S,*) orthodox, wenn (E(S),*) Unterhalbgruppe von (S,*) ist. Speziell ist jedes Band wegen E(S) = S eine orthodoxe Halbgruppe. Aber auch jede kommutative reguläre Halbgruppe ist orthodox, da dann aus e und f aus E(S) wegen e*f*e*f =e*e*f*f = e*f auch e*f aus E(S) folgt. Weiterhin ist jede Rechtsgruppe orthodox, wie der Struktursatz für Rechtsgruppen zeigt.

Sind für zwei idempotente Elemente e und f einer Halbgruppe auch e*f und f*e idempotent (was also stets für orthodoxe Halbgruppen der Fall ist), so sind wegen (e*f)*(f*e)*(e*f) = e*f*e*f = e*f und (f*e)*(e*f)*(f*e) = f*e*f*e = f*e die beiden Elemente e*f und f*e invers zueinander. Da auch jedes dieser idempotenten Elemente zu sich selbst invers ist, sind im Falle e*f /= f*e die Mengen V(e*f) und V(f*e) mindestens zweielementig.

Extreme Fälle für reguläre (und sogar orthodoxe) Halbgruppen sind die folgenden. Jede Gruppe (G,*) ist regulär, wobei V(a) jeweils genau aus dem eindeutig bestimmten gruppentheoretischen Inversen x' = a-1 besteht, das ersichtlich (1) und (1') erfüllt. Jedes rektanguläre Band (S,*) ist eine reguläre Halbgruppe, wobei V(a) jeweils aus ganz S besteht.


Satz: Für jede reguläre Halbgruppe (S,*) mit absorbierendem Element 0 sind gleichwertig:

a) Für alle e aus E(S) und alle a aus S gilt e*a = 0 => a*e = 0.

b) Für alle a aus S und alle natürlichen Zahlen n gilt an = 0 => a = 0.

c) Für alle a aus S gilt a*a = 0 => a = 0.

d) Für alle a,b aus S gilt a*b = 0 => b*a = 0.

Beweis: Ersichtlich folgt c) aus b) und ebenso a) aus d).
c) => d): Aus a*b = 0 erhält man (b*a)*(b*a) = b*(a*b)*a = 0 und hieraus mit c) bereits b*a = 0.
Bisher wurde die Regularität von (S,*) noch nicht benötigt.
a) => b): Sei a' aus V(a), also insbesondere a'*a aus E(S). Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Aus an = 0 folgt sonst a'*a*an-1 = 0 und mit a) daher an-1*a'*a = 0. Für n = 2 hat man sofort 0 = a*a'*a = a, sonst folgt zunächst 0 = an-2*a*a'*a = an-1 und hieraus durch Induktion schließlich ebenfalls a = 0.

Satz: In jeder orthodoxen Halbgruppe (S,*) mit absorbierendem Element 0 gilt für alle e,f aus E(S) bereits e*f = 0 => f*e = 0.

Beweis: Da mit e und f auch f*e in E(S) liegt, folgt f*e = f*e*f*e = f*0*e = 0.


1) John von Neumann, On regular rings, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 22 (1936), 296 - 300.