Reguläre Halbgruppen

Ein Element $a$ einer Halbgruppe $(S,*)$ heißt regulär¹⁾, wenn ein $x$ aus $S$ mit

(1)

Für jedes Element $a$ einer Halbgruppe $(S,*)$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(i) $a$ ist regulär.

(ii) Das von $a$ erzeugte Linkshauptideal wird auch von einem idempotenten Element erzeugt.

(iii) Das von $a$ erzeugte Rechtshauptideal wird auch von einem idempotenten Element erzeugt.

Zum Beweis genügt es, die Gleichwertigkeit von (i) und (ii) zu beweisen, da (iii) die zu (ii) links-rechts-duale Aussage ist und (i) offensichtlich selbstdual.

(i) => (ii): Wie oben gezeigt, ist $S*a$ das von $a$ erzeugte Linkshauptideal und $f\; =\; x*a$ idempotentes Element aus $S*a$. Daher ist das von $f$ erzeugte Linkshauptideal $S*f$ jedenfalls in $S*a$ enthalten. Andererseits ist $a\; =\; a*x*a\; =\; a*f$ aber auch in $S*f$ enthalten und damit schon in $S*a$, d. h. diese beiden Linkshauptideale stimmen überein.

(ii) => (i): Gilt $\{\; a\; \}$ S*a = { f } S*f = S*f für ein idempotentes und daher reguläres Element $f$, so gibt es ein $s$ mit $a\; =\; s*f$ und daher $a*f\; =\; s*f*f\; =\; s*f\; =\; a$. Für $f\; =\; a$ ist $a$ regulär, sonst ist aber $f$ in $S*a$ enthalten und es gilt $f\; =\; x*a$ für ein $x$ aus $S$. Daraus folgt dann $a\; =\; a*f\; =\; a*x*a$, also (1).

Aus (1) folgt, daß auch $x\text{'}\; =\; x*a*x$ wegen $a*x\text{'}*a\; =\; a*x*a*x*a\; =\; a*x*a\; =\; a$ nicht nur ebenfalls (1), sondern auch

(1')

(2)

definieren. Man nennt dann $x\text{'}$ auch ein Inverses von $a$ und bezeichnet mit $V(a)$ die Menge aller Inversen von $a$.

Eine Halbgruppe $(S,*)$ heißt regulär, wenn jedes Element $a$ aus $S$ regulär ist, wenn also stets $V(a)$ nicht leer ist.

Man nennt eine reguläre Halbgruppe $(S,*)$ orthodox, wenn $(E(S),*)$ Unterhalbgruppe von $(S,*)$ ist. Speziell ist jedes Band wegen $E(S)\; =\; S$ eine orthodoxe Halbgruppe. Aber auch jede kommutative reguläre Halbgruppe ist orthodox, da dann aus $e$ und $f$ aus $E(S)$ wegen $e*f*e*f\; =e*e*f*f\; =\; e*f$ auch $e*f$ aus $E(S)$ folgt. Weiterhin ist jede Rechtsgruppe orthodox, wie der Struktursatz für Rechtsgruppen zeigt.

Sind für zwei idempotente Elemente $e$ und $f$ einer Halbgruppe auch e*f und f*e idempotent (was also stets für orthodoxe Halbgruppen der Fall ist), so sind wegen $(e*f)*(f*e)*(e*f)\; =\; e*f*e*f\; =\; e*f$ und $(f*e)*(e*f)*(f*e)\; =\; f*e*f*e\; =\; f*e$ die beiden Elemente $e*f$ und $f*e$ invers zueinander. Da auch jedes dieser idempotenten Elemente zu sich selbst invers ist, sind im Falle $e*f\; /=\; f*e$ die Mengen $V(e*f)$ und $V(f*e)$ mindestens zweielementig.

Extreme Fälle für reguläre (und sogar orthodoxe) Halbgruppen sind die folgenden. Jede Gruppe $(G,*)$ ist regulär, wobei $V(a)$ jeweils genau aus dem eindeutig bestimmten gruppentheoretischen Inversen $x\text{'}\; =\; a-1$ besteht, das ersichtlich (1) und (1') erfüllt. Jedes rektanguläre Band $(S,*)$ ist eine reguläre Halbgruppe, wobei $V(a)$ jeweils aus ganz $S$ besteht.

Satz: Für jede reguläre Halbgruppe $(S,*)$ mit absorbierendem Element 0 sind gleichwertig:

d) Für alle $a,b$ aus $S$ gilt $a*b\; =\; 0\; =>\; b*a\; =\; 0.$

Beweis: Ersichtlich folgt c) aus b) und ebenso a) aus d).
c) => d): Aus $a*b\; =\; 0$ erhält man $(b*a)*(b*a)\; =\; b*(a*b)*a\; =\; 0$ und hieraus mit c) bereits $b*a\; =\; 0.$
Bisher wurde die Regularität von $(S,*)$ noch nicht benötigt.
a) => b): Sei $a\text{'}$ aus $V(a)$, also insbesondere $a\text{'}*a$ aus $E(S).$ Für $n\; =\; 1$ ist nichts zu zeigen. Aus $an=\; 0$ folgt sonst $a\text{'}*a*an-1=\; 0$ und mit a) daher $an-1*a\text{'}*a\; =\; 0$. Für $n\; =\; 2$ hat man sofort $0\; =\; a*a\text{'}*a\; =\; a$, sonst folgt zunächst $0\; =\; an-2*a*a\text{'}*a\; =\; an-1$ und hieraus durch Induktion schließlich ebenfalls $a\; =\; 0.$

Satz: In jeder orthodoxen Halbgruppe $(S,*)$ mit absorbierendem Element 0 gilt für alle $e,f$ aus $E(S)$ bereits $e*f\; =\; 0\; =>\; f*e\; =\; 0.$

Beweis: Da mit $e$ und $f$ auch $f*e$ in $E(S)$ liegt, folgt $f*e\; =\; f*e*f*e\; =\; f*0*e\; =\; 0.$