Rektanguläre Gruppoide und Halbgruppen

Ein Gruppoid $(G,*)$ heißt rektangulär, wenn für alle $a,\; b,\; x,\; y$ aus $G$ die Gleichheit von dreien der Produkte $a*x,\; b*x,\; a*y,\; b*y$ bereits die Gleichheit $a*x\; =\; b*x\; =\; a*y\; =\; b*y$ nach sich zieht.

Die Erklärung für diese Bezeichnung liefern die Positionen der Einträge dieser vier Produkte an den Ecken eines Rechtecks in einer Cayley-Tafel für $(G,*)$. (Die Schnittpunkte der Zeilen von $a$ und $b$ mit den Spalten von $x$ und $y$.)

Ist $(G,*)$ ein rektanguläres Gruppoid und $e$ ein idempotentes Element von $G$ das

für alle $a$ und $c$ aus $G$ erfüllt, so folgt

(2)

für alle $a$ und $c$ aus $G$, denn mit $x\; =\; e*c,\; b\; =\; a*e$ und $y\; =\; c$ hat man die Gleichheiten $a*x\; =\; a*(e*c)\; =\; (a*e)*c\; =\; b*y$ und $b*y\; =\; (a*e)*c\; =\; (a*(e*e))*c\; =\; ((a*e)*e)*c\; =\; (a*e)*(e*c)\; =\; b*x$, woraus dann $a*e*c\; =\; a*x\; =\; a*y\; =\; a*c$ folgt.

Struktursatz für rektanguläre Bänder: Für jede Halbgruppe $(S,*)$ sind die folgenden Aussagen gleichwertig.

a) $(S,*)$ ist ein rektanguläres Band.

b) $a*b*c\; =\; a*c$ und $b*b\; =\; b$ für alle $a,\; b,\; c$ aus $S$.

c) $b*a*b\; =\; b$ für alle $a,\; b$ aus $S$.

d) Aus $a*b\; =\; b*a$ folgt stets $a\; =\; b$, man sagt, $(S,*)$ sei antikommutativ oder nirgends kommutativ.

e) $(S,*)$ ist isomorph zu dem direkten Produkt $(L\; x\; R,*)$ einer (geeigneten) Linkszerohalbgruppe $(L,*)$ und einer (geeigneten) Rechtszerohalbgruppe $(R,*)$.

Beweis: a) => b) ergibt sich aus der Definition eines Bandes mit (2).

b) => c) folgt wegen $b*a*b\; =\; b*b\; =\; b$.

c) => d): Aus $a*b\; =\; b*a$ folgt mit c) und der Assoziativität der Multiplikation $a\; =\; a*(b*b)*a\; =\; (a*b)*(b*a)\; =\; (b*a)*(a*b)\; =\; b*(a*a)*b\; =\; b$, also die Behauptung.

d) => e): Zunächst folgt wegen der Assoziativität der Multiplikation $b*(b*b)\; =\; (b*b)*b$ und hieraus mit d) $b*b\; =\; b$, d. h. $(S,*)$ ist ein Band. Nun hat man $b*b*a*b\; =\; b*a*b\; =\; b*a*b*b$, d. h. $b*(b*a*b)\; =\; (b*a*b)*b$, woraus wegen d) auch c) folgt. Mit c) ergibt sich aber weiter $a*c\; =(a*b*a)*(c*b*c)$, und hierin gilt für das mittlere Produkt $b*a*c*b\; =\; b$, wiederum wegen c). Also gilt auch b). Seien nun mit einem beliebigen $s$ aus $S$ die beiden Mengen $L\; =\; S*s\; =\; \{\; a*s\; |\; a\; aus\; S\; \}$ und $R\; =\; s*S\; =\; \{\; s*a\; |\; a\; aus\; S\; \}$ definiert. Dann folgt aus b), daß $(L,*)$ wegen $a*s*b*s\; =\; a*s$ für alle $a,\; b$ aus S eine Unterhalbgruppe von $(S,*)$ ist, die überdies eine Linkszerohalbgruppe ist. Entsprechend ist $(R,*)$ eine Rechtszerohalbgruppe, die Unterhalbgruppe von $(S,*)$ ist. Wegen $a\; =\; a*s*s*a$ ist jedes Element $a$ aus $S$ bereits im Komplexprodukt $L*R$ enthalten. Diese Darstellung $a\; =\; (a*s)*(s*a)$ von $a$ ist aber eindeutig, denn sind $l\; =\; x*s$ und $r\; =\; s*y$ Elemente aus $L$ bzw. $R$, mit $a\; =\; l*r$, so folgt $l*s\; =\; x*s*s\; =\; x*s\; =\; l$ und $s*r\; =\; s*s*y\; =\; s*y\; =\; r$ und daher $a*s\; =\; l*r*s\; =\; l*s\; =\; l$ und $s*a\; =\; s*l*r\; =\; s*r\; =\; r$ jeweils mit b). Nun zeigt $a*b\; =\; (a*s)*(s*a)*(b*s)*(s*b)\; =\; (a*s)*(s*b)\; =\; (a*s)*(b*s)*(s*a)*(s*b)$, wobei zweimal b) verwendet wurde, daß $f\; :\; S\; ->\; L\; x\; R$ mit $f(a)\; =\; f(a*s*s*a)\; =\; (a*s)*(s*a)$ ein bijektiver Homomorphismus von $(S,*)$ auf das direkte Produkt $(L\; x\; R,*)$ ist.

e) => a) Sind $(L,*)$ und $(R,*)$ eine Links- bzw. eine Rechtszerohalbgruppe, so gilt für jedes Element $(a,a\text{'})$ des direkten Produktes $(S,*)\; =\; (L\; x\; R,\; *)$ bereits $(a,a\text{'})*(a,a\text{'})\; =\; (a*a,a\text{'}*a\text{'})\; =\; (a,a\text{'})$, d. h. $(S,*)$ ist ein Band. Sind weiterhin $(a,a\text{'}),\; (b,b\text{'}),\; (x,x\text{'}),\; (y,y\text{'})$ beliebige Elemente aus $(S,*)\; =\; (L\; x\; R,\; *)$, so folgt für die vier Produkte $$ (a,a\text{'})*(x,x\text{'})=(a,x\text{'}),\; (a,a\text{'})*(y,y\text{'})=(a,y\text{'}),\; (b,b\text{'})*(x,x\text{'})=(b,x\text{'}),\; (b,b\text{'})*(y,y\text{'})=(b,y\text{'})$.\; Sind\; hiervon\; drei\; beliebige\; Produkte\; gleich,\; so\; folgt\; schon$ a\; =\; b$und$ x\; =\; y$,\; also\; insgesamt\; die\; Gleichheit\; aller\; vier\; Produkte.$

Mit diesem Satz hat man (im Prinzip) die Möglichkeit, alle rektangulären Bänder zu konstruieren, denn die Konstruktion von Linkszero- und Rechtszerohalbgruppen ist für beliebige Mengen leicht durchführbar. Natürlich ist wegen c) insbesondere jede Linkszero- und jede Rechtszerohalbgruppe selbst ein rektanguläres Band. Dabei ist in der Produktdarstellung e) der jeweils andere Faktor als einelementige Halbgruppe zu nehmen. Ebenso folgt aus e), daß das direkte Produkt von beliebigen rektangulären Bändern wieder ein rektanguläres Band ist.

Jede Zerohalbgruppe mit mehr als einem Element ist natürlich nicht idempotent, erfüllt aber $a*b*c\; =\; a*c$ für alle $a,b,c$. Die beiden Bedingungen in b) sind also unabhängig voneinander.