R-Moduln

Es sei (R,+,*) ein Ring. Eine kommutative Gruppe (M,+) heißt ein R-(Links-)Modul, wenn eine (linksseitige) Operatoranwendung R x M -> M der Operatoren r aus R auf die Modulelemente m aus M gemäß (r,m) -> rm existiert, so daß die folgenden Operator- oder Modulaxiome für alle r, s aus R und m,n aus M gelten.

(1)

(r * s)m = r(sm),

(2)

(r + s)m = rm + sm,

(3)

rm + n = rm + rn.

Auf den rechten Seiten von (2) und (3) verabredet man wie üblich, daß die Operatoranwendungen stärker binden als die Addition in (M,+).

Besitzt der Ring (R,+,*) ein Einselement 1 und gilt

(4)

1m = m

für alle m aus M, so heißt der R-Modul (M,+) unitär.

Für einen Körper (K,+,*) nennt man einen unitären K-(Links-)Modul einen K-(Links-)Vektorraum und die Modulelemente dann Vektoren.

Beispiele für R-Moduln

  • Jede abelsche Gruppe (M,+) kann als unitärer Z-Modul für den Ring (Z,+,*) der ganzen Zahlen aufgefaßt werden, wenn man die Operatoranwendung als wiederholte Addition gemäß

    gm = m + ... + m (g Summanden) falls g > 0

    0m = o (das neutrale Element von (M,+)

    gm = |g|-m falls g < 0

    für alle m aus M definiert. Daher bezeichnet man abelsche Gruppen mitunter auch als Moduln.

  • Ist (R,+,*) Unterring eines Ringes (S,+,*), so kann (die kommutative Gruppe) (S,+) als R-Modul aufgefaßt werden, wenn man die Operatoranwendung als Ringmultiplikation gemäß rs = r * s für alle r aus R und s aus S definiert. Dann ist (1) nichts weiter als ein Teil des Assoziativgesetzes der Halbgruppe (S,*) und (2) und (3) sind in den Distributivgesetzen von (S,+,*) enthalten.

    Sind (R,+,*) und (S,+,*) beides Ringe mit Einselement, so ist (4) jedoch nur genau dann erfüllt, wenn beide Einselemente übereinstimmen.

    Speziell kann man also jeden Ring (R,+,*) als R-Modul betrachten. Dieser ist genau dann unitär, wenn (R,+,*) ein Einselement besitzt.

    Weiterhin ergeben sich hieraus Beispiele für K-Vektorräme, wenn (K,+,*) Unterkörper eines Ringes mit Einselement (oder sogar eines Körpers) (E,+,*) ist.