Rosettengruppen

Hierbei handelt es sich um diskrete Bewegungsgruppen $(G,o)$ der euklidischen Ebene $E$ ₂, deren Translationsteil (G) nur aus dem Nullvektor besteht, die also keine echte Translation enthalten.

Die Bestimmung sämtlicher Rosettengruppen $(G,o)$ mit $| G | > 1$ gelingt nun mit Hilfe der folgenden Aussagen, die sich durch elementargeometrische Überlegungen beweisen lassen.

1) $(G,o)$ kann keine echte Gleitspiegelung enthalten, denn die zweimalige Anwendung einer solchen Gleitspiegelung wäre eine nichtidentische Translation. Daher sind die einzig möglichen uneigentlichen Bewegungen aus $(G,o)$ Geradenspiegelungen.

2) Ist die identische Abbildung die einzige eigentliche Bewegung aus $(G,o)$ , so enthät $G$ neben der Identiät nur noch genau eine Geradenspiegelung. Wegen 1) und $| G | > 1$ muß $G$ jedenfalls eine Geradenspiegelung enthalten. Die Nacheinanderanwendung von zwei verschiedenen Geradenspiegelungen ist aber entweder eine nichtidentische Translation (wenn die beiden Spiegelungsgeraden parallel sind) oder eine nichtidentische Drehung (wenn sich die Spiegelungsgeraden schneiden).

3) Gibt es außer der Identität noch weitere eigentliche Bewegungen in $(G,o)$ , so besitzt $(G,o)$ genau einen Fixpunkt $z$ , d. h. es ist $f(z) = z$ für alle $f$ aus $G$ . Weiterhin besitzt $(G,o)$ höchstens Drehungen mit dem Zentrum $z$ und Spiegelungen an Geraden durch $z$ . (Beim Beweis benutzt man, daß man aus zwei Drehungen um verschiedene Zentren eine nichtidentische Translation zusammensetzen kann und aus einer Drehung und einer Spiegelung an einer Geraden, die nicht durch das Zentrum der Drehung geht, eine nichtidentische Drehung mit einem verschiedenen Zentrum.)

4) Die Menge $D(G)$ aller Drehungen aus $G$ bildet eine Untergruppe von $(G,o)$ , da sie nach 3) alle ein gemeinsames Zentrum haben.

5) Entweder gilt $G = D(G)$ oder es gibt noch eine Geradenspiegelung $s$ _g aus $G$ mit $G = D(G)$ s_g o D(G). Nach 3) enthält die Spiegelungsgerade $g$ das Zentrum $z$ aller Drehungen aus $D(G)$ . Dies gilt aber für jede Geradenspiegelung $s$ _h, die noch in $G$ enthalten ist. Daher ist $s$ _g o s_h eine in $D(G)$ enthaltene Drehung, und folglich liegt $s$ _h in $s$ _g o D(G). Insbesondere ist also $D(G)$ ein Normalteiler von $(G,o)$ .

Bei den bisherigen Überlegungen spielte die Diskretheit von $(G,o)$ noch keine Rolle. Diese wird erst in dem folgenden Satz benutzt.

Satz Ist $(D,o)$ eine diskrete Gruppe von Drehungen mit dem gemeinsamen Zentrum $z$ , dann gibt es eine natürliche Zahl $n > 0$ , so daß sich $D$ aus der Drehung um $z$ mit dem Drehwinkel $2*pi/n$ erzeugen läßt.

Beweis: Sei $p$ ein von $z$ verschiedener Punkt der euklidischen Ebene und $r$ größer als $|| p - z ||$ . Dann ist der Orbit $D(p)$ ganz in der $r$ -Umgebung von $z$ enthalten und wegen der Diskretheit von $D$ endlich, etwa $D(p) = {
p=p$ ₁,...,p_n }, wobei die Numerierung im positiven Drehsinn erfolge. Für $n = 1$ ist die Behauptung richtig. Wäre der minimale Drehwinkel, der irgend zwei benachbarte Punkte aus $D(p)$ ineinander überführt, echt kleiner als $2*pi/n$ , so wäre die Drehung mit diesem Drehwinkel in $(D,o)$ enthalten und würde in $D(p)$ mehr als n Punkte erzeugen. Dieser Widerspruch zeigt die Behauptung.

Damit gibt es folgende zwei unendlichen Familien von Rosettengruppen:

Die zyklischen Gruppen $C$ _n der Ordnung n.
Die Diedergruppen $D$ _n der Ordnung 2n.

Aufgrund der kristallographischen Beschränkung kommen für die Punktgruppen

G

₀ einer Ornamentgruppe

(G,o)

nur die folgenden Arten von Rosettengruppen in Frage: