Satz über maximale Untergruppen


Es sei (S,*) eine Halbgruppe (S,*) und e aus S idempotent.

Dann stimmen die beiden Mengen G1 = { a aus S | e * a = a = a * e, es gibt ein a' aus S mit a * a' = e = a' * a } und G2 = { a aus S | a liegt im Durchschnitt von e * S und S * e und e liegt im Durchschnitt von a * S und S * a} überein und enthalten das Element e.

Sicherlich ist e = e * e in beiden Mengen enthalten. Jedes a aus G1 liegt wegen a = e * a in e * S und wegen a = a * e auch in S * e, also im Durchschnitt beider Mengen. Andererseits liegt e = a * a' in a * S und ebenso wegen e = a' * a in S * a. Daher ist G1 Teilmenge von G2. Ist umgekehrt a aus G2, so gibt es x, y, s, t aus S mit a = e * x = y * e und e = a * s = t * a. Es folgen e * a = e * e * x = e * x = a und a * e = y * e * e = y * e = a, sowie a * (e * s * e) = a * s * e = e * e = e * t * a = (e * t * e) * a und e * s * e = e * e * s * e = e * t * a * s * e = e * t * e * e = e * t * e. Mit a' = e * s * e = e * t * e ist also auch die zweite Bedingung von G1 erfüllt.

G1 ist Untergruppe von S.

Ersichtlich ist e Einselement von G1. Sind a, b aus G1 und a', b' aus S mit a * a ' = e = a' * a sowie b * b' = e = b' * b, so gilt (a * b) * (b' * a') = a * e * a' = e = b' * e * b = (b' * a') * (a * b), d. h., G1 ist Untermonoid von S. Weiterhin gilt e * a' = (a' * a) * a' = a' * (a * a') = a' * e und x = a' * e = = e * a' erfüllt e * x = e * e * a' = x = a' * e * e = x * e und a * x = a * a' * e = e = e * a' * a = x * a. Damit liegt x schon in G1 und ist dort inverses Element zu a. Also ist G1 eine Gruppe.

Jede Untergruppe U von S, die e enthält, ist in Ge = G1 = G2 enthalten, diese Untergruppe ist also maximale Untergruppe, die e enthält.

Da e = e * e in der Gruppe U liegt, muß es das Einselement dieser Gruppe sein. Für jedes a aus U und sein Inverses a' in U sind daher beide Bedingungen von G1 erfüllt. Also liegt a schon in G1.

Sind Ge und Gf maximale Untergruppen zu verschiedenen idempotenten Elementen, so sind sie disjunkt.

Liegt nämlich a im Durchschnitt dieser Untergruppen, so folgt f * e = f * e * e = f * e * a * a ' = f * a * a' = a * a ' = e und e * f = e * e * f = a' * a * e * f = a' * a = a' * a = f = a' * a = e und damit auch f = e * f = f * e = e.

Insgesamt ist damit der folgende Satz bewiesen:

Satz: Jedes idempotente Element e einer Halbgruppe (S,*) ist in einer maximalen Untergruppe Ge von S enthalten und diese Untergruppen sind paarweise disjunkt.

Im Spezialfall eines Monoids erhält man hiermit die Untergruppe der Einheiten.

Weiterhin ist jedes Element einer Halbgruppe, das in überhaupt einer Untergruppe U enthalten ist, bereits in einer maximalen Untergruppe Ge enthalten. Man wähle einfach e als Einselement von U.