Der Satz von Cayley

Satz: Jede Gruppe ist zu einer Untergruppe einer geeigneten symmetrischen Gruppe isomorph.

Beweis: Sei $(G,*)$ eine Gruppe. Wie für jedes Monoid ist die Abbildung $l\; :\; G\; ->\; T$_G, die jedem $a$ aus $G$ die Linkstranslation $l(a)\; =\; l$_a zuordnet, ein injektiver Homomorphismus von $(G,*)$ in die Halbgruppe $(T$_G,o) der Transformationen von $G$.

Für jede Gruppe $(G,*)$ sind aber sämtliche Linkstranslationen schon Permutationen von $G$, also Elemente der symmetrischen Gruppe $S$_G.

Also ist $(G,*)$ isomorph zur Untergruppe $(l(G),o)$ von $(S$_G,o).

Bemerkung: Dieser Satz besagt zwar, daß es zur Untersuchung sämtlicher Gruppen theoretisch ausreicht, nur genau genug Permutationsgruppen zu studieren. Jedoch ist dieses Vorgehen im konkreten Fall zu unpraktisch, da beispielsweise zum Studium aller Gruppen mit 10 Elementen die Untergruppen der symmetrischen Gruppe $S$₁₀ betrachtet werden müßte, eine Gruppe also, die 10! Elemente enthält.