Der Satz von Lagrange


Satz: Für jede Untergruppe (U,*) einer Gruppe (G,*) ist die Ordnung |U| ein Teiler der Ordnung |G|.

Beweis: Für jedes a aus G heißt a*U = { a*u | u aus U } die von a erzeugte Linksnebenklasse von U.

Für jede Linksnebenklasse a*U von U gilt |a*U| = |U|, denn für jedes Element a der Gruppe (G,*) ist die Einschränkung der Linkstranslation la auf U eine Bijektion von U auf aU.

Ist b aus a*U, so gilt bereits a*U=b*U, denn aus b = a*u folgt b*v = a*u*v für alle v aus U. Da mit u und v auch u*v in U liegt, ist b*v in a*U, also b*U eine Teilmenge von a*U. Andererseits folgt aus b = a*u sofort, daß a = b*u-1 in b*U liegt, woraus sich wie oben ergibt, daß a*U in b*U enthalten ist.

Die verschiedenen Linksnebenklassen von U bilden daher eine Einteilung von U in paarweise disjunkte Klassen, die alle dieselbe Mächtigkeit |U| haben. Die Anzahl dieser Klassen nennt man den Index von U in G, in Zeichen |G:U|. Man hat also |G| = |G:U||U|, bei geeigneter Interpretation der Multiplikation für unendliche Kardinalzahlen.

Folgerung: Ist die Ordnung |G| einer Gruppe (G,*) eine Primzahl, so hat (G,*) nur die trivialen Untergruppen {e} und G. Ist a also ein von e verschiedenes Element von G, so stimmt die von a erzeugte Untergruppe bereits mit G überein, d. h. (G,*) ist zyklisch und somit abelsch.