Der Satz von Lagrange

Satz: Für jede Untergruppe $(U,*)$ einer Gruppe $(G,*)$ ist die Ordnung $|U|$ ein Teiler der Ordnung $|G|$.

Beweis: Für jedes $a$ aus $G$ heißt $a*U\; =\; \{\; a*u\; |\; u\; aus\; U\; \}$ die von $a$ erzeugte Linksnebenklasse von $U$.

Für jede Linksnebenklasse $a*U$ von $U$ gilt $|a*U|\; =\; |U|$, denn für jedes Element $a$ der Gruppe $(G,*)$ ist die Einschränkung der Linkstranslation $l$_a auf $U$ eine Bijektion von $U$ auf $aU$.

Ist $b$ aus $a*U$, so gilt bereits $a*U=b*U$, denn aus $b\; =\; a*u$ folgt $b*v\; =\; a*u*v$ für alle $v$ aus $U$. Da mit $u$ und $v$ auch $u*v$ in $U$ liegt, ist $b*v$ in $a*U$, also $b*U$ eine Teilmenge von $a*U$. Andererseits folgt aus $b\; =\; a*u$ sofort, daß $a\; =\; b*u-1$ in $b*U$ liegt, woraus sich wie oben ergibt, daß $a*U$ in $b*U$ enthalten ist.

Die verschiedenen Linksnebenklassen von $U$ bilden daher eine Einteilung von $U$ in paarweise disjunkte Klassen, die alle dieselbe Mächtigkeit $|U|$ haben. Die Anzahl dieser Klassen nennt man den Index von $U$ in $G$, in Zeichen $|G:U|$. Man hat also $|G|\; =\; |G:U||U|$, bei geeigneter Interpretation der Multiplikation für unendliche Kardinalzahlen.

Folgerung: Ist die Ordnung $|G|$ einer Gruppe $(G,*)$ eine Primzahl, so hat $(G,*)$ nur die trivialen Untergruppen $\{e\}$ und $G$. Ist $a$ also ein von $e$ verschiedenes Element von $G$, so stimmt die von $a$ erzeugte Untergruppe bereits mit $G$ überein, d. h. $(G,*)$ ist zyklisch und somit abelsch.