Semisymmetrische Gruppoide


In jedem Gruppoid (G,*) sind die beiden folgenden Bedingungen gleichwertig:

(1l)

a * (b * a) = b für alle a,b aus G

und

(1r)

(a * b) * a = b für alle a,b aus G.

Aus (1l) folgt nämlich (b * a) * b = (b * a) * (a * (b * a)) = a für alle a,b aus G, was nichts anderes als (1r) ist. Die Umkehrung folgt analog.

Man nennt ein Gruppoid (G,*) semisymmetrisch, wenn es eine (und damit beide) dieser Bedingungen erfüllt.

Jedes semisymmetrische Gruppoid ist eine flexible Quasigruppe, denn aus a * b = a * c folgt mit (1r) sofort b = (a * b) * a = (a * c) * a = c, also die Linkskürzbarkeit von a, und aus (1l) entsprechend die Rechtskürzbarkeit. Außerdem haben die Gleichungen a * x = b und y * a = b stets die Lösungen x = b * a und y = a * b. Die Flexibilität folgt direkt aus (1l) und (1r).

Jedes einseitig neutrale Element e einer semisymmetrischen Quasigruppe ist bereits ein neutrales Element, denn ist e etwa linksneutral, so folgt a * a = a * (e * a) = e = (a * e) * a und daher a = a * e wegen der Rechtskürzbarkeit in der Quasigruppe.

Ist das semisymmetrische Gruppoid (G,*) also sogar eine Loop mit dem neutralen Element e, so folgt a * a = a * (e * a) = e, d. h. (G,*) ist unipotent.


Satz: Für jedes linksalternative Gruppoid (G,*) sind gleichwertig:
a) (G,*) ist semisymmetrisch.
b) (G,*) ist eine kommutative Loop, in der jedes Element a eine Involution ist, also a * a = e erfüllt.

Beweis: Ist nämlich (G,*) ein semisymmetrisches und linksalternatives Gruppoid, so ist (G,*) eine linksalternative Quasigruppe, besitzt also ein linksneutrales Element. Daher ist es sogar eine Loop. Für das neutrale Element e und alle a, b aus G folgt dann a * a = e * e = e und weiter a * b = (a * (a * b)) * a = ((a * a) * b) * a = (e * b) * a = b * a. Umgekehrt folgt in jeder alternativen und kommutativen Loop aus a * a = e sofort b = e * b = (a * a) * b = a * (a * b) = a * (b * a).

Daher liefern die Booleschen Gruppen Beispiele für semisymmetrische Gruppoide.