Semisymmetrische Gruppoide

In jedem Gruppoid $(G,*)$ sind die beiden folgenden Bedingungen gleichwertig:

(1_l)
$a * (b * a) = b$ für alle $a,b$ aus $G$

und

(1_r)
$(a * b) * a = b$ für alle $a,b$ aus $G$ .

Aus (1_l) folgt nämlich $(b * a) * b = (b * a) * (a * (b * a)) = a$ für alle $a,b$ aus $G$ , was nichts anderes als (1_r) ist. Die Umkehrung folgt analog.

Man nennt ein Gruppoid $(G,*)$ semisymmetrisch, wenn es eine (und damit beide) dieser Bedingungen erfüllt.

Jedes semisymmetrische Gruppoid ist eine flexible Quasigruppe, denn aus $a * b = a * c$ folgt mit (1_r) sofort $b = (a * b) * a = (a * c) * a = c$ , also die Linkskürzbarkeit von $a$ , und aus (1_l) entsprechend die Rechtskürzbarkeit. Außerdem haben die Gleichungen $a * x = b$ und $y * a = b$ stets die Lösungen $x = b * a$ und $y = a * b.$ Die Flexibilität folgt direkt aus (1_l) und (1_r).

Jedes einseitig neutrale Element $e$ einer semisymmetrischen Quasigruppe ist bereits ein neutrales Element, denn ist $e$ etwa linksneutral, so folgt $a * a = a * (e * a) = e = (a * e) * a$ und daher $a = a * e$ wegen der Rechtskürzbarkeit in der Quasigruppe.

Ist das semisymmetrische Gruppoid $(G,*)$ also sogar eine Loop mit dem neutralen Element $e$ , so folgt $a * a = a * (e * a) = e$ , d. h. $(G,*)$ ist unipotent.

Satz: Für jedes linksalternative Gruppoid $(G,*)$ sind gleichwertig:
a) $(G,*) ist semisymmetrisch$ .
b) $(G,*)$ ist eine kommutative Loop, in der jedes Element $a$ eine Involution ist, also $a * a = e$ erfüllt.

Beweis: Ist nämlich $(G,*)$ ein semisymmetrisches und linksalternatives Gruppoid, so ist $(G,*)$ eine linksalternative Quasigruppe, besitzt also ein linksneutrales Element. Daher ist es sogar eine Loop. Für das neutrale Element $e$ und alle $a, b$ aus $G$ folgt dann $a * a = e * e = e$ und weiter $a * b = (a * (a * b)) * a
= ((a * a) * b) * a = (e * b) * a = b * a$ . Umgekehrt folgt in jeder alternativen und kommutativen Loop aus $a * a = e$ sofort $b = e * b = (a * a) * b = a * (a * b) = a * (b * a)$ .

Daher liefern die Booleschen Gruppen Beispiele für semisymmetrische Gruppoide.