Skalarprodukt

Es sei $(V,+)$ ein $R$ - Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist eine Abbildung $< , > : V x V -> R$ mit den folgenden, für alle x, y, z aus $V$ und alle $k$ aus $R$ gültigen Eigenschaften

(1)

<

o,o> = 0 und <x,x> > 0 für x /= o,

(2)

<

x,y> = <y,x>,

(3)

<

x + y,z> = <x,z> + <y,z>,

<k

x,y> = k<x,y>.

Wegen (2) ergibt sich aus (3) auch

(3')

<

z,x + y> = <z,x> + <z,y>,

<

x,ky> = k<x,y>.

Man nennt (1) die positive Definitheit, (2) die Symmetrie und (3) mit (3') die Bilinearität von $< , >$ .

Man sagt, daß zwei Vektoren x und y aus $V$ orthogonal zueinander sind oder aufeinander senkrecht stehen, wenn $<$ x,y> = 0 gilt. Zwei Teilmengen $X$ und $Y$ sind dann orthogonal, wenn dies für alle x aus $X$ und alle y aus $Y$ gilt. Damit ist insbesondere die nur aus dem Nullvektor bestehende Menge ${$ o} orthogonal zu jeder Menge von Vektoren aus $V$ .

Beispiele für Skalarprodukte

Auf dem arithmetischen Vektorraum $(R$ ⁿ,+) wird durch

<(x

₁,...,x_n), (y₁,...,y_n)> = x₁*y₁ + ... + x_n*y_n

ein Skalarprodukt definiert, das Standardskalarprodukt.

Man kann das erste Beispiel leicht variieren: Sind $a$ ₁,..., a_n positive reelle Zahlen, dann definiert

<(x

₁,...,x_n), (y₁,...,y_n)> = a₁*x₁*y₁ + ... + a_n*x_n*y_n

ebenfalls ein Skalarprodukt auf $(R$ ⁿ,+).