Skalarprodukt


Es sei (V,+) ein R- Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung < , > : V x V -> R mit den folgenden, für alle x, y, z aus V und alle k aus R gültigen Eigenschaften

(1)

<o,o> = 0 und <x,x> > 0 für x /= o,

(2)

<x,y> = <y,x>,

(3)

<x + y,z> = <x,z> + <y,z>,
<kx,y> = k<x,y>.

Wegen (2) ergibt sich aus (3) auch

(3')

<z,x + y> = <z,x> + <z,y>,
<x,ky> = k<x,y>.

Man nennt (1) die positive Definitheit, (2) die Symmetrie und (3) mit (3') die Bilinearität von < , >.


Man sagt, daß zwei Vektoren x und y aus V orthogonal zueinander sind oder aufeinander senkrecht stehen, wenn <x,y> = 0 gilt. Zwei Teilmengen X und Y sind dann orthogonal, wenn dies für alle x aus X und alle y aus Y gilt. Damit ist insbesondere die nur aus dem Nullvektor bestehende Menge {o} orthogonal zu jeder Menge von Vektoren aus V.


Beispiele für Skalarprodukte

  • Auf dem arithmetischen Vektorraum (Rn,+) wird durch

    <(x1,...,xn), (y1,...,yn)> = x1*y1 + ... + xn*yn

    ein Skalarprodukt definiert, das Standardskalarprodukt.

  • Man kann das erste Beispiel leicht variieren: Sind a1,..., an positive reelle Zahlen, dann definiert

    <(x1,...,xn), (y1,...,yn)> = a1*x1*y1 + ... + an*xn*yn

    ebenfalls ein Skalarprodukt auf (Rn,+).