Stein-Quasigruppen

Ein Gruppoid $(G,*)$ erfüllt die Stein-Identität¹⁾ und wird daher Stein-Gruppoid genannt, wenn

(1)

a * (a * b) = b * a

für alle $a,b$ aus $G$ erfüllt ist. Handelt es sich bei $(G,*)$ dann um eine Quasigruppe, so spricht man von einer Stein-Quasigruppe.

Aus (1) folgt insbesondere $a * (a * a) = a * a$ und damit, indem man in (1) $b = a * a$ setzt, $(a * a) * a =
a * (a * (a * a)) = a * (a * a) = a * a$ . Hieraus wiederum ergibt sich durch Multiplikation von links mit $a * a$ auch $(a * a) * (a * a)
= (a * a) * ((a * a) * a) = a * (a * a) = a * a$ . Also ist jedes $a$ aus $(G,*)$ entweder idempotent oder erzeugt die Unterhalbgruppe ${a, a * a}$ , die eine Zerohalbgruppe mit dem Nullelement $a * a \= a$ ist. Da in diesem Fall $a$ nicht kürzbar ist, muß jede Stein-Quasigruppe idempotent sein. Für $| G | > 1$ kann es sich daher um keine Linksloop [Rechtsloop, Loop] handeln. Insbesondere sind assoziative Stein-Gruppoide außer für $| G | = 1$ niemals Gruppen.

Jede Stein-Halbgruppe ist kommutativ. Aus (1) folgt dann nämlich $b * a * a * b = b * b * a = a * b$ und daraus $(a * a * b) * b = b * b * a * a * b = b * a * b$ . Ersetzt man hierin $a$ durch $a * a$ , so folgt $a * a * b * b = a * a * a * a * b * b = b * a * a * b = a * b$ und schließlich $b * a = a * a * b = a * a * a * b * b = a * a * b * b = a * b.$

Eine Stein-Halbgruppe ist daher genau dann idempotent, wenn sie ein Halbverband ist.

¹⁾ S. K. Stein, On the foundations of quasigroups, Transactions of the American Mathematical Society 85 (1957), 228 - 256.