Stein-Quasigruppen


Ein Gruppoid (G,*) erfüllt die Stein-Identität1) und wird daher Stein-Gruppoid genannt, wenn

(1)

a * (a * b) = b * a

für alle a,b aus G erfüllt ist. Handelt es sich bei (G,*) dann um eine Quasigruppe, so spricht man von einer Stein-Quasigruppe.


Aus (1) folgt insbesondere a * (a * a) = a * a und damit, indem man in (1) b = a * a setzt, (a * a) * a = a * (a * (a * a)) = a * (a * a) = a * a. Hieraus wiederum ergibt sich durch Multiplikation von links mit a * a auch (a * a) * (a * a) = (a * a) * ((a * a) * a) = a * (a * a) = a * a. Also ist jedes a aus (G,*) entweder idempotent oder erzeugt die Unterhalbgruppe {a, a * a}, die eine Zerohalbgruppe mit dem Nullelement a * a \= a ist. Da in diesem Fall a nicht kürzbar ist, muß jede Stein-Quasigruppe idempotent sein. Für | G | > 1 kann es sich daher um keine Linksloop [Rechtsloop, Loop] handeln. Insbesondere sind assoziative Stein-Gruppoide außer für | G | = 1 niemals Gruppen.

Jede Stein-Halbgruppe ist kommutativ. Aus (1) folgt dann nämlich b * a * a * b = b * b * a = a * b und daraus (a * a * b) * b = b * b * a * a * b = b * a * b. Ersetzt man hierin a durch a * a, so folgt a * a * b * b = a * a * a * a * b * b = b * a * a * b = a * b und schließlich b * a = a * a * b = a * a * a * b * b = a * a * b * b = a * b.

Eine Stein-Halbgruppe ist daher genau dann idempotent, wenn sie ein Halbverband ist.


1) S. K. Stein, On the foundations of quasigroups, Transactions of the American Mathematical Society 85 (1957), 228 - 256.