Steinersche Tripel-Systeme, Quasigruppen und Loops

Ein Steinersches Tripel-System (kurz: STS) $S$ (Jakob Steiner, 1796 - 1863) auf einer Menge $A$ besteht aus dreielementigen Teilmengen von $A$ derart, daß zu je zwei verschiedenen Elementen $a$ und $b$ aus$ A$stets\; genau\; ein$ c$aus$ A$existiert,\; so\; daß$ \{\; a,\; b,\; c\; \}$in$ S$enthalten\; ist.$$

Ist $S$ ein STS auf $A$, so definieren

(1) $a*a\; =\; a$

für alle $a$ aus $A$ und

(2)

eine (wegen (1)) idempotente und kommutative Verknüpfung auf $A$, d. h. es gilt auch

(3) $a*b\; =\; b*a$

für alle $a,\; b$ aus $A$. Offensichtlich folgt für die drei paarweise verschiedenen Elemente $a,\; b,\; c$ aus (2) dann auch $a\; *\; c\; =\; b$ und $b\; *\; c\; =\; a$. Insbesondere ergibt sich daraus, daß $(A,*)$ eine Quasigruppe ist, die schließlich wegen (2) noch

(4) $a*(a*b)\; =\; b$

für alle $a,b$ aus $A$ erfüllt, also linkssymmetrisch ist. Man nennt Gruppoide mit (1), (3) und (4) auch idempotente vollständig symmetrische Quasigruppen oder kurz Steinersche Quasigruppen. Derartige Quasigruppen sind in hohem Maße nicht-assoziativ, denn erfüllen zwei Elemente $a$ und $b$ das Assoziativgesetz, so folgt aus (4) und (1) sofort $a*b\; =\; b$ und analog $b*a\; =\; a$. Mit (3) zeigt dies bereits $a\; =\; b$.

Geht man umgekehrt von einer Steinerschen Quasigruppe $(A,*)$ aus, so erhält man auf folgende Weise die Elemente $\{a,\; b,\; c\}$ eines STS. Zu verschiedenen Elementen $a$ und $b$ aus $A$ nehme man das eindeutig bestimmte $c$ aus $A$ hinzu, für welches $a*b\; =\; c$ gilt. Dann gilt wegen (4) auch $a*c\; =\; a*(a*b)\; =\; b$, woraus mit (3) schließlich $c*b\; =\; c*(c*a)\; =\; a$ folgt, d. h. je zwei verschiedene Elemente aus $\{a,\; b,\; c\}$ bestimmen durch ihr Produkt das dritte, welches dann wegen (1) wiederum von beiden verschieden ist. Die so konstruierten Mengen sind also tatsächlich dreielementig und bilden ein STS.

Man kann mit Hilfe eines STS auf $A$ noch eine andere Multiplikation definieren, indem man zuerst noch ein neues Element $e$ zu $A$ hinzunimmt und dann auf $A$ { e } die Formel (1) ersetzt durch

(1') $a\; *\; a\; =\; e\; und\; e*a\; =\; a\; =\; a*e$

Ist $(A,*,e)$ eine Loop mit dem neutralen Element $e$ und $|\; A\; |\; >\; 1$, dann kann man die dreielementigen Teilmengen $\{\; a,\; b,\; c\; \}$ eines STS auf $A\; \backslash \; \{1\}$ dadurch definieren, daß je zwei verschiedene Elemente aus einer solchen Menge das dritte durch ihr Produkt bestimmen. Der Beweis ergibt sich mit denselben Argumenten wie bei Steinerschen Quasigruppen.

Für $|\; A\; |\; =\; 1$ ist $S\; =\; \{\; \}$ ein STS auf $A$ und offensichtlich das einzig mögliche, da keine dreielementigen Teilmengen von $A$ existieren.

Für $|\; A\; |\; =\; 2$ existiert kein STS auf $A$, da zu den beiden verschiedenen Elementen aus $A$ kein drittes existiert, das mit den ersten beiden eine dreielementige Teilmenge von $A$ bildet.

Für $|\; A\; |\; =\; 3$ ist offensichtlich $S\; =\; \{\; A\; \}$ das einzig mögliche STS auf $A$. Es liefert die einzige idempotente und kommutative Quasigruppe mit 3 Elementen und als Loop mit 4 Elementen die Kleinsche Vierergruppe.

Für $|\; A\; |\; =\; 4$, etwa $A\; =\; \{\; a,\; b,\; c,\; d\; \}$, darf man $\{\; a,\; b,\; c\; \}$ aus $S$ annehmen. Zu $a$ und $d$ darf dann aber weder $\{\; a,\; d,\; b\; \}$ noch $\{\; a,\; d,\; c\; \}$ in $S$ liegen, da im ersten Fall zwei verschiedene Mengen aus $S$ sowohl $a$ als auch $b$ enthalten, während im zweiten Fall $a$ und $c$ in zwei verschiedenen Mengen aus $S$ enthalten\; sind.$$

Ebenso kann man zeigen, daß für $|\; A\; |\; =\; 5$ und $|\; A\; |\; =\; 6$ keine STS existieren. Dies ergibt sich aber wesentlich eleganter aus der Formel (6) weiter unten.

Das nächst größere STS existiert erst wieder für $|\; A\; |\; =\; 7$. Dazu betrachte man die folgenden sieben Elemente: die drei Eckpunkte, die drei Seitenmitten und den Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks. Die (sieben) dreielementigen Teilmengen des STS werden nun wie folgt gebildet. Je drei Punkte, die auf einer Seite oder auf einer Seitenhalbierenden liegen, bilden insgesamt sechs dreielementige Teilmengen. Die siebte Teilmenge wird von den drei Seitenmitten gebildet.

(5) $|\; S\; |\; =\; 1/6*|A|*(|A|\; -\; 1)\; \; und$

(6) $|\; A\; |\; =\; 1\; mod\; 6\; \; oder\; \; |\; A\; |\; =\; 3\; mod\; 6.$

Beweis Jede der $|A|*(|A|\; -\; 1)/2$ verschiedenen zweielementigen Teilmengen kann man zu genau einer dreielementigen Menge aus $S$ ergänzen. Allerdings entsteht jede dreielementige Teilmenge aus $S$ jeweils dreimal, da sie aus jeder ihrer drei zweielementigen Teilmengen entsteht. Also gilt $3*|S|\; =\; |A|*(|A|\; -\; 1)/2$, woraus (5) folgt.

Für ein beliebiges Element $a$ aus $A$ seien $S$₁,...,S_k sämtliche Elemente aus $S$, in denen $a$ enthalten ist. Dann sind die zweielementigen Teilmengen $S$_i \ { a } paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt $A\; \backslash \; \{a\}$, da jedes von $a$ verschiedene Element $b$ aus $A$ in genau einer dieser Mengen enthalten ist. Also ist $|\; A\; \backslash \; \{\; a\; \}\; |$ gerade und daher $|\; A\; |$ ungerade, also kongruent 1, 3 oder 5 modulo 6. Aus (5) ergibt sich aber, daß $|A|*(|A|\; -\; 1)$ ganzzahlig durch 6 teilbar sein muß, d. h. entweder ist $|\; A\; |$ oder $|A|\; -\; 1$ durch 3 teilbar. Im ersten Fall ist $|\; A\; |$ kongruent 0 oder 3 modulo 6, im zweiten Fall kongruent 1 oder 4 modulo 6. Kombiniert man beide Resultate, so bleiben nur die beiden in (6) angegebenen Fälle.