Symmetriegruppen


Es sei F eine beliebige nichtleere Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raumes En, eine Figur oder ein geometrisches Objekt. Ist B : En -> En eine Bewegung, die F auf sich abbildet, also mit

(1)

B(F) = { B(x) | x aus F } = F,

so bildet die Umkehrabbildung B-1 wegen B-1(F) = B-1(B(F)) = F diese Figur ebenfalls auf sich ab. Da offensichtlich auch die Nacheinanderanwendung zweier Bewegungen mit (1) diese Eigenschaft hat und da (1) von der identischen Abbildung erfüllt wird, bilden alle Bewegungen mit der Eigenschaft (1) eine Bewegungsgruppe Sym(F), die Symmetriegruppe oder Deckabbildungsgruppe von F.

Besitzt die Symmetriegruppe Sym(F) einen nichttrivialen Translationenbereich, so ist sie sicherlich unendlich und F kann nicht beschränkt sein. Andererseits kann aber auch für eine beschränkte Figur F die Symmetriegruppe unendlich sein, obwohl ihr Translationenbereich dann natürlich einelementig ist. Dies zeigt etwa die n-dimensionale Kugel F = { x aus En | || x || <= 1 } für n=2,3,...


Weiterführende Literatur

  • M. Belger, L. Ehrenberg, Theorie und Anwendung der Symmetriegruppen, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981.

  • G. E. Martin, Transformation Geometry - An Introduction to Symmetry, Springer, Berlin, 1982. ISBN 3-540-90636-3.

  • R. L. Carter, Molecular Symmetry and Group Theory, John Wiley & Sons, New York, 1988. ISBN 3-471-14955-1.

  • J. Rosen, Symmetry in Science, Springer, New York, 1995. ISBN 0-387-94375-7.

  • E. Scholz, Symmetrie - Gruppe - Dualität, Birkhäuser, Basel 1989. ISBN 3-326-00546-6.

  • H. Weyl, Symmetrie, Birkhäuser, Basel 1955.