Transformationshalbgruppen


Für eine beliebige nichtleere Menge X betrachte man die Menge TX aller Abbildungen f: X -> X von X in sich, die Transformationen von X.

Durch die Nacheinanderanwendung (f o g)(x) = f(g(x)) für alle x aus X und alle f und g aus TX ist eine assoziative Verknüpfung o auf TX definiert.

Die identische Abbildung idX auf X, die jedes x aus X auf sich selbst abbildet, ist ersichtlich neutrales Element bezüglich dieser Verknüpfung, so daß (TX,o) ein Monoid ist.

Aufgabe: In (TX,o) sind genau die konstanten Abbildungen cx : X -> X mit cx(y) = x für alle y aus X und ein jeweils festes x aus X linksabsorbierend und genau die injektiven Abbildungen linkskürzbar.

Sobald X zwei verschiedene Elemente enthält, existieren zwei verschiedene konstante Abbildungen, und (TX,o) ist weder kommutativ noch eine Gruppe.


Symmetrische Gruppen


Wie in jedem Monoid, so kann man auch in (TX,o) die Untergruppe der Einheiten bilden, d. h. in diesem Fall, der invertierbaren Abbildungen f: X -> X. Diese nennt man auch die Permutationen (der Elemente) von X und schreibt (SX,o) für diese symmetrische Gruppe auf X. Im Fall X = {1,...,n} kürzt man dies zu (Sn,o) ab.

Man sieht leicht, daß Sn aus genau n! = 1*2*3*...*n verschiedenen Permutationen besteht und daß diese symmetrische Gruppe für n > 2 nicht kommutativ ist.