Transformationshalbgruppen

Für eine beliebige nichtleere Menge $X$ betrachte man die Menge $T$_X aller Abbildungen $f:\; X\; ->\; X$ von $X$ in sich, die Transformationen von $X$.

Durch die Nacheinanderanwendung $(f\; o\; g)(x)\; =\; f(g(x))$ für alle $x$ aus $X$ und alle $f$ und $g$ aus $T$_X ist eine assoziative Verknüpfung $o$ auf $T$_X definiert.

Die identische Abbildung $id$_X auf $X$, die jedes $x$ aus $X$ auf sich selbst abbildet, ist ersichtlich neutrales Element bezüglich dieser Verknüpfung, so daß $(T$_X,o) ein Monoid ist.

Aufgabe: In $(T$_X,o) sind genau die konstanten Abbildungen $c$_x : X -> X mit $c$_x(y) = x für alle $y$ aus $X$ und ein jeweils festes $x$ aus $X$ linksabsorbierend und genau die injektiven Abbildungen linkskürzbar.

Sobald $X$ zwei verschiedene Elemente enthält, existieren zwei verschiedene konstante Abbildungen, und $(T$_X,o) ist weder kommutativ noch eine Gruppe.

Symmetrische Gruppen

Wie in jedem Monoid, so kann man auch in $(T$_X,o) die Untergruppe der Einheiten bilden, d. h. in diesem Fall, der invertierbaren Abbildungen $f:\; X\; ->\; X$. Diese nennt man auch die Permutationen (der Elemente) von $X$ und schreibt $(S$_X,o) für diese symmetrische Gruppe auf $X$. Im Fall $X\; =\; \{1,...,n\}$ kürzt man dies zu $(S$_n,o) ab.

Man sieht leicht, daß $S$_n aus genau $n!\; =\; 1*2*3*...*n$ verschiedenen Permutationen besteht und daß diese symmetrische Gruppe für $n\; >\; 2$ nicht kommutativ ist.