Links- und Rechtstranslationen

Für ein Element $a$ eines Gruppoids $(G,*)$ werde die Linkstranslation $l$ _a : G -> G durch

(l) $l$ _a (x) = a*x

und die Rechtstranslation $r$ _a : G -> G durch

(r) $r$ _a (x) = x*a

jeweils für alle $x$ aus $G$ definiert. Bei beiden Abbildungen handelt es sich also um Transformationen von $(G,*)$ , die jeweils genau dann injektiv sind, wenn $a$ links- bzw. rechtskürzbar in $(G,*)$ ist. Weiterhin stimmen sie genau dann überein, wenn $a$ zentrales Element von $(G,*)$ ist. In diesem Fall heißt die Abbildung $t$ _a = l_a = r_a die Translation um $a$ .

Die Linkstranslation

l

_a ist offensichtlich genau dann surjektiv, wenn für jedes

b

aus

G

ein

x

aus

G

mit

a*x = b

existiert. Entsprechendes gilt für die Rechtstranslation

r

_a. Für eine Quasigruppe sind also sämtliche Links- und sämtliche Rechtstranslationen sogar bijektiv, also Permutationen von

G

. Die Menge aller Links- und Rechtstranslationen erzeugt daher eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe

S

_G, die Multiplikationsgruppe von

(G,*)

Für die Nacheinanderanwendung zweier Linkstranslationen $l$ _a und $l$ _b gilt genau dann

(1) $l$ _a o l_b = l_a*b,

wenn $a*(b*x) = (a*b)*x$ für alle $x$ aus $G$ erfüllt ist, also insbesondere, wenn $(G,*)$ assoziativ ist. In diesem Fall bilden daher die Linkstranslationen eine Unterhalbgruppe der Transformationenhalbgruppe $(T$ _G,o). Außerdem ist dann wegen (1) die Abbildung $l : G -> T$ _G mit $l(a) = l$ _a für alle $a$ aus $G$ ein Homomorphismus von $(G,*)$ auf diese Unterhalbgruppe.

Besitzt $(G,*)$ ein neutrales Element $e, so ist
diese Abbildung sogar injektiv, denn für alle Linkstranslationen l$ _a und $l$ _b folgt aus $l$ _a = l_b speziell $l$ _a(e) = l_b(e) und daher $a = b$ .

Parallelverschiebungen

Ist $(V,+)$ ein Vektorraum über einem beliebigen Körper $(K,+,*)$ , so ist $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und daher für jeden Vektor a aus $V$ die Translation oder Parallelverschiebung um a gemäß

(2) $t$ _a(x) = x + a

definiert.

Für den Nullvektor o ergibt $t$ _o nichts weiter als die identische Abbildung auf $V$ . Weiterhin ist jede Translation bijektiv, denn die Umkehrabbildung zu $t$ _a ist offensichtlich gerade $t$ _-a. Nach den obigen allgemeinen Überlegungen ist also die Menge $T$ aller Translationen auf $V$ eine zu $(V,+)$ isomorphe Untergruppe der symmetrischen Gruppe $(S$ _V,o).

Bemerkung: Dies ist der Grund dafür, daß man in der elemntaren Vektorrechnung die Vektoren anschaulich als Parallelverschiebungen der Ebene oder des Raumes einführen kann.