Links- und Rechtstranslationen


Für ein Element a eines Gruppoids (G,*) werde die Linkstranslation la : G -> G durch

(l)           la (x) = a*x

und die Rechtstranslation ra : G -> G durch

(r)           ra (x) = x*a

jeweils für alle x aus G definiert. Bei beiden Abbildungen handelt es sich also um Transformationen von (G,*), die jeweils genau dann injektiv sind, wenn a links- bzw. rechtskürzbar in (G,*) ist. Weiterhin stimmen sie genau dann überein, wenn a zentrales Element von (G,*) ist. In diesem Fall heißt die Abbildung ta = la = ra die Translation um a.


Die Linkstranslation la ist offensichtlich genau dann surjektiv, wenn für jedes b aus G ein x aus G mit a*x = b existiert. Entsprechendes gilt für die Rechtstranslation ra. Für eine Quasigruppe sind also sämtliche Links- und sämtliche Rechtstranslationen sogar bijektiv, also Permutationen von G. Die Menge aller Links- und Rechtstranslationen erzeugt daher eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe SG, die Multiplikationsgruppe von (G,*).

Für die Nacheinanderanwendung zweier Linkstranslationen la und lb gilt genau dann

(1)           la o lb = la*b,

wenn a*(b*x) = (a*b)*x für alle x aus G erfüllt ist, also insbesondere, wenn (G,*) assoziativ ist. In diesem Fall bilden daher die Linkstranslationen eine Unterhalbgruppe der Transformationenhalbgruppe (TG,o). Außerdem ist dann wegen (1) die Abbildung l : G -> TG mit l(a) = la für alle a aus G ein Homomorphismus von (G,*) auf diese Unterhalbgruppe.


Besitzt (G,*) ein neutrales Element e, so ist diese Abbildung sogar injektiv, denn für alle Linkstranslationen la und lb folgt aus la = lb speziell la(e) = lb(e) und daher a = b.


Parallelverschiebungen


Ist (V,+) ein Vektorraum über einem beliebigen Körper (K,+,*), so ist (V,+) eine abelsche Gruppe und daher für jeden Vektor a aus V die Translation oder Parallelverschiebung um a gemäß

(2)           ta(x) = x + a

definiert.

Für den Nullvektor o ergibt to nichts weiter als die identische Abbildung auf V. Weiterhin ist jede Translation bijektiv, denn die Umkehrabbildung zu ta ist offensichtlich gerade t-a. Nach den obigen allgemeinen Überlegungen ist also die Menge T aller Translationen auf V eine zu (V,+) isomorphe Untergruppe der symmetrischen Gruppe (SV,o).

Bemerkung: Dies ist der Grund dafür, daß man in der elemntaren Vektorrechnung die Vektoren anschaulich als Parallelverschiebungen der Ebene oder des Raumes einführen kann.