Unäre Gruppoide, U-Halbgruppen

Ein unäres Gruppoid $(G,*,')$ besteht aus einem Gruppoid $(G,*)$ und einer unären (einstelligen) Verknüpfung $' : G -> G$ , die jedem Element $a$ aus $G$ ein $a'$ aus $G$ zuordnet, so daß

(1)

(a')' = a

für alle $a$ aus $G$ gilt. Diese Abbildung ist also eine Permutation von $G$ , genauer eine Involution. Jedes Gruppoid kann daher mit der identischen Abbildung auch als unäres Gruppoid betrachtet werden. Unäre Halbgruppen werden auch kurz U-Halbgruppen genannt. Der Sinn der Begriffsbildungen auf dieser Seite ist es, verschiedene Klassen von Halbgruppen als Varietäten darzustellen, also als Klassen von gleichartigen Algebren, die jeweils durch eine Menge von Gleichungen beschrieben werden können.

Interessant wird eine solche unäre Verknüpfung aber erst dann, wenn sie mit der binären Verknüpfung des Gruppoids in geeigneter Weise zusammenwirkt.

Ein unäres Gruppoid $(G,*,')$ besitzt die Inverseneigenschaft, wenn

(I)

a' * (a * b) = b

und

b = (b * a) * a'

für alle $a,b$ aus $G$ gelten.

Aus (I) folgt

(INV)

(a * b)' = b' * a'

für alle $a,b$ aus $G$ .

Wegen (I) hat man nämlich $b' = (a * b)' * ((a * b) * b') = (a * b)' * a$ und hieraus folgt dann $b' * a' = ((a * b)' * a) * a' = (a * b)'$ wiederum mit (I).

Jedes unäre Gruppoid $(G,*,')$ mit Inverseneigenschaft ist eine Quasigruppe.

Sind $a, b, c$ aus $G$ , so folgt aus $a * b = a * c$ mit (I) bereits $b = a' * (a * b) = a' * (a * c) = c$ , d. h. $a$ ist linkskürzbar. Die Rechtskürzbarkeit folgt aus der zweiten Gleichung in (I). Außerdem ist $x = a' * b$ aus $G$ Lösung der Gleichung $a * x = b$ , denn für $z = a * x = a * (a' * b)$ folgt $a ' * z = a' * (a * (a' * b)) = a' * b$ und daher $z = b$ mit der Linkskürzbarkeit. Dual folgt, daß $y = b * a'$ Lösung der Gleichung $y * a = b$ ist.

Man benutzt auch oft andere Symbole für die beiden Verknüpfungen: als Multiplikationssymbol wird dann üblicherweise der Punkt gewählt, also

(G,.)

für das Gruppoid, und statt

a'

wird

a

^* oder

a

^-1 geschrieben. Hiermit definiert man dann:

Unter einem *-Gruppoid versteht man ein unäres Gruppoid $(G,.,$ ^*), in dem

(2)

(a.b)

^* = b^*.a^*

für alle $a, b$ aus $G$ gilt.

Unter einer I-Halbgruppe versteht man eine U-Halbgruppe $(G,.,$ ^-1), in der

(3)

a.a

^-1.a = a

für alle $a$ aus $G$ gilt.

Wegen (3) ist jede I-Halbgruppe eine reguläre Halbgruppe und wegen $a$ ^-1.a.a^-1 = a^-1.(a^-1)^-1. a^-1 = a^-1 ist $a$ ^-1 ein Inverses von $a$ in dieser regulären Halbgruppe. Dabei sind die vollständig regulären Halbgruppen genau diejenigen I-Halbgruppen, die noch

(4)

a.a

^-1 = a^-1.a

erfüllen.

Die inversen Halbgruppen sind genau diejenigen I-Halbgruppen, die

(5)

(a.a

^-1).(b.b^-1) = (b.b^-1).(a^-1.a)

erfüllen, und Gruppen lassen sich als I-Halbgruppen mit

(6)

a.a

^-1 = b.b^-1 charakterisieren. Mit

b = a

^-1 und (1) folgt hieraus nämlich (4) und das eindeutig bestimmte Element

e = a.a

^-1 = b.b^-1 ist dann wegen (3) zweiseitiges Einselement in der I-Halbgruppe, woraus dann wegen (4) folgt, daß

a

^-1 das Inverse von

a

ist. In diesen I-Halbgruppen gilt natürlich auch die (2) entsprechende Gleichung

(a.b)

^-1 = b^-1.a^-1.

Die vollständig einfache Halbgruppen sind I-Halbgruppen mit

(7)

a.a

^-1 = (a.b.a).(a.b.a)^-1. Schließlich bezeichnet man diejenigen Halbgruppen, die zugleich invers und vollständig regulär sind, als Clifford-Halbgruppen.

Betrachtet man auf einer beliebigen Halbgruppe

(S,*)

die triviale unäre Verknüpfung, so sind (1) und (4) offensichtlich immer erfüllt. (2) charakterisiert dann genau die kommutativen Halbgruppen, (3) reduziert sich zu

a * a * a = a

, was insbesondere für Bänder erfüllt ist. Diese sind daher stets vollständig reguläre Halbgruppen. Aus (5) wird

a * a * b * b = b * b * a * a

, was insbesondere für Halbverbände zutrifft, die damit nicht nur inverse, sondern auch Cliffordsche Halbgruppen sind. Mit (6) werden dann die Booleschen Gruppen charakterisiert. Da sich (7) zu

a * a = (a * b * a) * (a * b * a)

reduziert, sieht man sofort, daß die vollständig einfachen Bänder genau die rektangulären Bänder sind.

Eine I-Halbgruppe mit (4), also eine vollständig reguläre Halbgruppe, heißt eine rektanguläre Gruppe, wenn noch

(8)

a

^-1.b.b^-1.a = a^-1.a für alle

a,b

aus

S

gilt. Jede Gruppe ist eine rektanguläre Gruppe, denn wie oben gezeigt, gelten (4) und

(a.b)

^-1 = b^-1.a^-1, woraus mit (6) dann

a

^-1.b.b^-1.a = a^-1.a = a^-1.a.a^-1.a = e.a^-1.a = a^-1.a folgt. Jedes rektanguläre Band ist (mit der trivialen unären Verknüpfung) eine vollständig reguläre Halbgruppe und es gilt

a.b.b.a = a = a.a

, also (8). Daher ist auch das direkte Produkt einer Gruppe mit einem rektangulären Band eine rektanguläre Gruppe. Man kann auch umgekehrt zeigen, daß jede rektanguläre Gruppe zu einem derartigen Produkt isomorph ist.

Eine Halbgruppe $(S,.)$ heißt ein Band von Gruppen, wenn es eine Kongruenzrelation auf $S$ gibt, so daß die Faktorhalbgruppe $S/$ ein Band ist und jede -Klasse eine Gruppe. Jedes Band von Gruppen ist eine vollständig reguläre Halbgruppe.

Die orthodoxen vollständig regulären Halbgruppen sind genau die I-Halbgruppen, die neben (4) noch

(9)

a.b = a.b.b

^-1.a^-1.a.b

erfüllen.

Die orthodoxen Bänder von Gruppen sind genau die I-Halbgruppen, die neben (4) noch

(10)

(a.b).(a.b)

^-1 = a.a^-1.b.b^-1

erfüllen.