Unterstrukturen

Für ein Gruppoid $(G,*)$ heißt eine nichtleere Teilmenge $U$ von $G$ abgeschlossen bezüglich der inneren Verknüpfung $*$ , wenn gilt

(1)

a*b

liegt in

U

für alle

a, b

aus

U

In diesem Fall ist die Einschränkung der Verknüpfung $*$ von $G$ auf $U$ eine Verknüpfung auf $U$ , die man üblicherweise mit demselben Symbol $*$ bezeichnet. Es ist dann $(U,*)$ selbst ein Gruppoid, ein Untergruppoid von $(G,*)$ .

Ersichtlich überträgt sich die eventuell vorhandene Idempotenz, Kommutativiät oder Assoziativität von $(G,*)$ auf jedes Untergruppoid und speziell im letzten Fall heißt $(U,*)$ dann eine Unterhalbgruppe der Halbgruppe $(G,*)$ .

In dem Monoid $(N$ ₀,*) der natürlichen Zahlen ist $(N,*)$ eine Unterhalbgruppe mit demselben neutralen Element 1 wie $(N$ ₀,*), während $({0},*)$ ebenfalls Unterhalbgruppe ist, die aber ein von 1 verschiedenes eigenes neutrales Element 0 besitzt. Man verlangt daher bei der Definition eines Untermonoids $(U,*)$ eines Monoids $(H,*)$ über die Eigenschaft der Unterhalbgruppe und die Existenz eines neutralen Elementes in $(U,*)$ hinaus noch, daß die neutralen Elemente von $(U,*)$ und $(H,*)$ übereinstimmen.

Ist $(G,*)$ eine Gruppe mit einer Unterhalbgruppe $(U,*)$ , so ist diese genau dann ein Monoid, wenn das neutrale Element von $(G,*)$ bereits in $U$ liegt, da eine Gruppe genau ein idempotentes Element besitzt, nämlich ihr neutrales Element $e$ . Denn erfüllt etwa $a aus G auch die Bedingung a * a = a, so folgt aus a * a = a * e durch Kürzen von a schon a = e . Da hierbei die Assoziativität nicht verwendet
wurde, gilt eine entsprechende Aussage sogar schon für Loops .
Dieser Schluß ist aber für beliebige Quasigruppen nicht möglich, denn es gibt bereits Quasigruppen mit nur drei
Elementen, die mehr als ein idempotentes Element besitzen.$

Weiterhin ist ein Untermonoid $(U,*)$ einer Gruppe $(G,*)$ genau dann eine Gruppe, wenn neben (1) noch gilt

(2)

a

^-1 liegt in

U

für alle

a

aus

U

Man nennt dann $(U,*)$ eine Untergruppe von $(G,*)$ .

Aufgabe: Man zeige, daß für eine nichtleere Teilmenge $U$ einer Gruppe $(G,*)$ genau dann $(U,*)$ eine Untergruppe von $(G,*)$ ist, wenn gilt

(3)

a*b

^-1 liegt in

U

für alle

a, b

aus

U

Beispiele für Untergruppen

Jede Gruppe $(G,*)$ mit dem neutralen Element $e$ besitzt die trivialen Untergruppen mit $U = G$ und $U = {e}$ .

Das Zentrum $Z(H)$ eines Monoids [einer Gruppe] $(H,*)$ ist stets Untermonoid [Untergruppe] von $(H,*)$ .

Für jedes Monoid $(H,*)$ bilden die invertierbaren Elemente die Untergruppe $U(H)$ der Einheiten von $(H,*)$ .

Für jede natürliche Zahl $n$ bildet die Menge $n*Z = { n*k | k aus Z }$ eine Untergruppe der Gruppe $(Z,+)$ . Mittels der Division mit Rest kann man zeigen, daß $(Z,+)$ keine weiteren Untergruppen besitzt.

Die Menge der aller $nxn$ -Matrizen $A$ über $R$ mit $det(A) = 1$ bildet eine Untergruppe von $GL$ _n(R), die spezielle lineare Gruppe $SL$ _n(R).

Die Menge der orthogonalen $nxn$ -Matrizen $A$ über $R$ , d. h. mit $A*A$ ^T = E_n, bildet eine Untergruppe von $GL$ _n(R), die orthogonale Gruppe $O$ _n(R).

Die Menge der orthogonalen $nxn$ -Matrizen $A$ über $R$ mit $det(A) = 1$ , bildet eine Untergruppe von $O$ _n(R), die spezielle orthogonale Gruppe $SO$ _n(R).