Unterstrukturen


Für ein Gruppoid (G,*) heißt eine nichtleere Teilmenge U von G abgeschlossen bezüglich der inneren Verknüpfung *, wenn gilt

(1)

a*b liegt in U für alle a, b aus U.

In diesem Fall ist die Einschränkung der Verknüpfung * von G auf U eine Verknüpfung auf U, die man üblicherweise mit demselben Symbol * bezeichnet. Es ist dann (U,*) selbst ein Gruppoid, ein Untergruppoid von (G,*).

Ersichtlich überträgt sich die eventuell vorhandene Idempotenz, Kommutativiät oder Assoziativität von (G,*) auf jedes Untergruppoid und speziell im letzten Fall heißt (U,*) dann eine Unterhalbgruppe der Halbgruppe (G,*).


In dem Monoid (N0,*) der natürlichen Zahlen ist (N,*) eine Unterhalbgruppe mit demselben neutralen Element 1 wie (N0,*), während ({0},*) ebenfalls Unterhalbgruppe ist, die aber ein von 1 verschiedenes eigenes neutrales Element 0 besitzt. Man verlangt daher bei der Definition eines Untermonoids (U,*) eines Monoids (H,*) über die Eigenschaft der Unterhalbgruppe und die Existenz eines neutralen Elementes in (U,*) hinaus noch, daß die neutralen Elemente von (U,*) und (H,*) übereinstimmen.


Ist (G,*) eine Gruppe mit einer Unterhalbgruppe (U,*), so ist diese genau dann ein Monoid, wenn das neutrale Element von (G,*) bereits in U liegt, da eine Gruppe genau ein idempotentes Element besitzt, nämlich ihr neutrales Element e. Denn erfüllt etwa a aus G auch die Bedingung a * a = a, so folgt aus a * a = a * e durch Kürzen von a schon a = e. Da hierbei die Assoziativität nicht verwendet wurde, gilt eine entsprechende Aussage sogar schon für Loops. Dieser Schluß ist aber für beliebige Quasigruppen nicht möglich, denn es gibt bereits Quasigruppen mit nur drei Elementen, die mehr als ein idempotentes Element besitzen.

Weiterhin ist ein Untermonoid (U,*) einer Gruppe (G,*) genau dann eine Gruppe, wenn neben (1) noch gilt

(2)

a-1 liegt in U für alle a aus U.

Man nennt dann (U,*) eine Untergruppe von (G,*).

Aufgabe: Man zeige, daß für eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe (G,*) genau dann (U,*) eine Untergruppe von (G,*) ist, wenn gilt

(3)

a*b-1 liegt in U für alle a, b aus U.


Beispiele für Untergruppen

  • Jede Gruppe (G,*) mit dem neutralen Element e besitzt die trivialen Untergruppen mit U = G und U = {e}.

  • Das Zentrum Z(H) eines Monoids [einer Gruppe] (H,*) ist stets Untermonoid [Untergruppe] von (H,*).

  • Für jedes Monoid (H,*) bilden die invertierbaren Elemente die Untergruppe U(H) der Einheiten von (H,*).

  • Für jede natürliche Zahl n bildet die Menge n*Z = { n*k | k aus Z } eine Untergruppe der Gruppe (Z,+). Mittels der Division mit Rest kann man zeigen, daß (Z,+) keine weiteren Untergruppen besitzt.

  • Die Menge der aller nxn-Matrizen A über R mit det(A) = 1 bildet eine Untergruppe von GLn(R), die spezielle lineare Gruppe SLn(R).

  • Die Menge der orthogonalen nxn-Matrizen A über R, d. h. mit A*AT = En, bildet eine Untergruppe von GLn(R), die orthogonale Gruppe On(R).

  • Die Menge der orthogonalen nxn-Matrizen A über R mit det(A) = 1, bildet eine Untergruppe von On(R), die spezielle orthogonale Gruppe SOn(R).